正实数集上关系R：xRy当且仅当x≤y²，是否具传递性？如何证明？

嘿，咱们直接来拆解这两个问题：

问题1：该关系不具有传递性 #

首先回忆传递性的严格定义：对于正实数集里的任意三个元素x、y、z，如果满足xRy（即x ≤ y²）且yRz（即y ≤ z²），那么必须满足xRz（x ≤ z²），才能说关系R具有传递性。

但我们很容易找到反例推翻这个结论：

• 取x=3，y=2：因为3 ≤ 2²=4，所以xRy成立；
• 再取z=1.5：因为2 ≤ (1.5)²=2.25，所以yRz成立；
• 现在看x和z的关系：3 ≤ (1.5)²=2.25吗？显然不成立——3远大于2.25，也就是xRz不成立。

这就说明存在x、y、z使得xRy且yRz但xRz不成立，所以关系R不具有传递性。

问题2：不存在“证明该关系具有传递性”的方法 #

因为刚才已经通过反例证明了这个关系不满足传递性，所以这个问题的前提本身不成立。如果要论证这个关系的传递性，正确方向是用反例证明它不具有传递性，就像上面给出的例子那样。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nanasaheb