求助：《黎曼曲面讲义》引理14.3中平方可积全纯函数空间相关断言

最近在读Otto Forster的《黎曼曲面讲义》，卡在了引理14.3的证明里——里面有个关于平方可积全纯函数空间的有限余维子空间的断言，作者完全没给解释，但我怎么也想不通它为什么成立。我把问题提炼到最核心的部分了：

设$D$是$\mathbb{C}$的开子集，$a_1,\dots,a_n$为有限点集，取$r>0$使得对每个$j=1,\dots,n$，开球$B(a_j,r)\subset D$。

这个断言就基于上述设定，涉及平方可积全纯函数空间的有限余维子空间。可惜原问题的后续内容被截断了，不过我还是希望能得到大佬们的指点：比如这类有限余维子空间相关的结论通常依赖哪些黎曼曲面或函数空间的性质？或者有没有常见的思路能推导这个断言的正确性？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Acton