指定定理下判断乘积型通项无穷级数的敛散性

首先我们明确级数的通项：设$x_k = \prod_{j=1}^k\frac{2j-1}{2j+2}$，显然所有$x_k>0$，满足定理的前提要求。

完成相邻项比值的计算 #

你已经开始了比值的推导，我们接着完成它：
$x_{k+1}$是$x_k$多乘了$j=k+1$对应的因子，因此：
$$x_{k+1} = x_k \cdot \frac{2(k+1)-1}{2(k+1)+2} = x_k \cdot \frac{2k+1}{2k+4}$$
所以相邻项的比值为：
$$\frac{x_{k+1}}{x_k} = \frac{2k+1}{2k+4}$$

分析给定定理的适用性 #

把这个比值变形后可以更直观地看到它的趋势：
$$\frac{2k+1}{2k+4} = 1 - \frac{3}{2k+4}$$
当$k$趋向于无穷大时，这个比值的极限是$1$。这就意味着，对于任何小于1的$r$，只要$k$足够大，$\frac{x_{k+1}}{x_k}$就会大于$r$——毕竟它无限接近1。因此题目中给出的定理的核心条件（存在$r<1$，使得当$k\geq k_0$时比值恒小于$r$）是不满足的，没法直接用这个定理来判断敛散性。

换用比较判别法证明收敛 #

我们可以通过估计$x_k$的量级来分析：
利用双阶乘的公式，分子$(2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k k!}$，分母$4\times6\times\cdots\times(2k+2)$可以写成$2^k \cdot (k+1)!$，因此：
$$x_k = \frac{(2k)!}{4^k k! (k+1)!}$$
借助斯特林公式$n! \sim n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}$（大$n$时的渐近近似），可以推导出$x_k$的量级是$\frac{C}{k^{{3/2}}$（$C$是常数）。而级数$\sum_{k=1}}\infty \frac{1}{k^{{3/2}}$是$p=3/2>1$的$p$-级数，是收敛的。根据比较判别法，原级数$\sum_{k=1}}\infty x_k$必然收敛。

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