关于Artin命题11.5.5中"去杠"及$R[\alpha]$元素形式的疑问

这俩问题我当年学Artin的时候也卡过，本质都是围绕商环的记号和结构来的，给你掰扯清楚：

1. 为什么“去杠”操作是合理的？ #

首先得明确$R[x]/(f)$里的元素是什么——它们是多项式环$R[x]$中模理想$(f)$的等价类。换句话说，两个多项式$g(x)$和$h(x)$属于同一个等价类（记作$\overline{g(x)}=\overline{h(x)}$），当且仅当$g(x)-h(x)$是$f(x)$的倍数，也就是$g\equiv h \pmod{f}$。

所谓的“去杠”，其实就是给这些抽象的等价类起个更直观的名字：我们把等价类$\overline{x}$（所有和$x$模$f$等价的多项式）记作$\alpha$。那对于任意多项式$g(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$，它的等价类$\overline{g(x)}$怎么用$\alpha$表示呢？

因为商环的加法、乘法完全继承自$R[x]$，等价类的运算对应代表元运算后再取等价类：

• $\overline{x^k} = (\overline{x})^k = \alpha^k$（乘法运算保持等价类的结构）
• $\overline{a_i} = a_i$（这里是把$R$中的元素$a_i$对应到常数多项式$a_i$的等价类，这个嵌入是良定义的——如果$a=b$在$R$里，那$a-b=0$肯定是$f$的倍数，所以$\overline{a}=\overline{b}$）

把这些合起来，$\overline{g(x)} = a_n\overline{x}^n + \dots + a_0\overline{1} = a_n\alpha^n + \dots + a_0 = g(\alpha)$。

这个“去杠”的合理性就在于：它是自洽的记号约定，既符合商环的运算规则，又完美对应了“添加一个满足$f(\alpha)=0$的元素$\alpha$”的直观——因为$\overline{f(x)} = \overline{0}$，所以$f(\alpha)=0$，刚好满足我们想要的关系。说白了就是把抽象的等价类，用一个“虚拟元素”$\alpha$的多项式形式来表示，让我们更容易理解商环的结构，不用一直盯着等价类看。

2. 为什么$R[x]/(f)$的元素形式是$g(\alpha)$？ #

你提到的两种定义其实是通过环同构联系起来的，咱们一步步拆解：

首先，当我们把$R[x]/(f)$记作$R[\alpha]$时，这里的$\alpha$就是刚才说的$\overline{x}$。$R[x]/(f)$里的任意元素都是某个多项式$g(x)$的等价类$\overline{g(x)}$，而根据上面的推导，$\overline{g(x)}=g(\alpha)$——这直接就说明了每个元素都能写成$g(\alpha)$的形式。

如果要联系“包含$R$和$\alpha$的最小环”这个定义，我们可以用第一同构定理来打通：
考虑映射$\phi: R[x] \to \text{包含}R\text{和}\alpha\text{的最小环}$，其中$\phi(g(x))=g(\alpha)$。这个映射是环同态（因为多项式的加法乘法对应到$\alpha$的运算），而且它的核恰好是理想$(f)$——因为$\phi(g(x))=0$当且仅当$g(\alpha)=0$，而$\alpha=\overline{x}$满足$f(\alpha)=0$，所以所有$f$的倍数都会被映射到0；反过来，任何满足$g(\alpha)=0$的$g(x)$都必须是$f$的倍数（用多项式除法：$g(x)=q(x)f(x)+r(x)$，$\deg r < \deg f$，如果$g(\alpha)=0$，那$r(\alpha)=0$，但$r(x)$次数比$f$低，只能是零多项式）。

根据第一同构定理，$R[x]/(f) \cong \text{Im}\phi$，而$\text{Im}\phi$就是包含$R$和$\alpha$的最小环（因为它包含所有$g(\alpha)$，而任何包含$R$和$\alpha$的环都必须包含这些元素）。所以这两个定义本质上是同一个环，只是一个用商环的抽象形式给出，一个用“生成元”的直观形式给出，所以$R[x]/(f)$的元素自然就是$g(\alpha)$的形式了。

补充一句：其实每个元素还可以简化成次数小于$\deg f$的多项式形式，因为任何多项式都能做除法得到$g(x)=q(x)f(x)+r(x)$，$\deg r < \deg f$，所以$\overline{g(x)}=\overline{r(x)}=r(\alpha)$，这也是为什么我们经常说$R[\alpha]$的元素是次数不超过$\deg f -1$的多项式形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user557