如何证明$R[x]/(x^2)\simeq R[x]/((x-1)^2)$？求解证方法

我试着用商环的泛性质来推导这个同构，过程是这样的：

首先构造一个复合映射：
$$R[x]\rightarrow R[x]\rightarrow R[x]/((x-1)^2)$$
映射的具体规则是$x\mapsto x-1\mapsto x-1+(x-1)^2$。

这里第一个映射（把$x$映射到$x-1$的环同态）其实是一个环同构，因为它有明确的逆映射：把$x$送到$x+1$，很容易验证二者互逆。第二个映射是标准的商环投影同态，它的核就是理想$(x-1)^2$。

不过我这里一开始犯了个错误：我误以为复合映射的核就是$(x-1)^{2$，但其实不对——复合映射的核应该是第一个同构映射的原像，也就是$\varphi}{-1}((x-1)^{2)$（其中$\varphi$是第一个同构）。而因为$\varphi(x)=x-1$，所以$\varphi(x}2)=(x-1)^{2$，反过来$\varphi}{-1}((x-1)^2)=(x2)$，这才是复合映射真正的核。

我当时错误地认定复合映射的核是$(x-1)^{2$，所以才会觉得理想$(x}2)$不包含在这个核里，导致推导卡住。其实纠正这个错误后，我们就能用商环的泛性质（或者说第一同构定理）来完成证明了：

因为复合映射$\pi\circ\varphi$（$\pi$是商投影）是一个满同态（$\varphi$是同构，$\pi$是满射，所以复合后也是满射），它的核是$(x^2)$，根据第一同构定理，就有：
$$R[x]/(x^2)\cong R[x]/((x-1)^2)$$

这样就完成了证明，之前的问题完全是因为搞错了复合映射的核导致的~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user557