求证或证伪集合等式$(A-B)\cup(B-C)=A-C$及元素法证明疑问

嘿，我来帮你拆解这个集合问题～首先明确结论：这个命题是不成立的，咱们用你提到的元素论证法一步步理清楚，你就能明白问题出在哪了。

首先，你说的从 x ∈ (A-B)∪(B-C) 推导出 x ∈ (A∩$\overline{B}$)∪(B∩$\overline{C}$) 是完全正确的，这是集合差集的定义转换，是元素论证的绝佳起点。接下来咱们分两部分验证包含关系：

1. 尝试证明 $(A-B)\cup(B-C) \subseteq A-C$（不成立） #

假设 $x ∈ (A-B)\cup(B-C)$，根据并集的定义，$x$ 属于其中一个子集，分两种情况讨论：

• 情况1：$x ∈ A-B$
  即 $x ∈ A$ 且 $x ∉ B$。要证明 $x ∈ A-C$，需要满足 $x ∈ A$ 且 $x ∉ C$。但这里我们只知道 $x ∉ B$，没有任何条件能保证 $x ∉ C$。比如取 $A={1,3}$，$B={2}$，$C={3}$：$x=3$ 属于 $A-B$，但 $x=3 ∈ C$，所以 $x ∉ A-C$。
• 情况2：$x ∈ B-C$
  即 $x ∈ B$ 且 $x ∉ C$。要证明 $x ∈ A-C$，需要满足 $x ∈ A$ 且 $x ∉ C$。但这里我们只知道 $x ∈ B$，没有条件保证 $x ∈ A$。比如取 $A={1}$，$B={2,3}$，$C={4}$：$x=2$ 属于 $B-C$，但 $x=2 ∉ A$，所以 $x ∉ A-C$。

这两种情况都存在反例，说明左边的集合并不完全包含于右边。

2. 证明 $A-C \subseteq (A-B)\cup(B-C)$（成立） #

假设 $x ∈ A-C$，即 $x ∈ A$ 且 $x ∉ C$，分两种情况讨论：

• 情况1：$x ∉ B$
  此时 $x ∈ A$ 且 $x ∉ B$，即 $x ∈ A-B$，自然属于 $(A-B)\cup(B-C)$。
• 情况2：$x ∈ B$
  此时 $x ∈ B$ 且 $x ∉ C$，即 $x ∈ B-C$，同样属于 $(A-B)\cup(B-C)$。

两种情况都能推出 $x$ 属于左边的集合，所以这部分包含关系是成立的。

总结 #

因为 $(A-B)\cup(B-C) \subseteq A-C$ 不成立，所以原等式 $(A-B)\cup(B-C)=A-C$ 不成立，只有 $A-C \subseteq (A-B)\cup(B-C)$ 是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者skyzhuzhu