求两个随机变量的分布：基于独立正态样本的统计量推导

首先明确已知条件：$Y_1, Y_2, ... , Y_{12}$是独立同分布（i.i.d）的正态随机变量，满足$Y_i \sim N(\mu, \sigma^2)$；同时定义了$U = \sum_{i=1}^6 (Y_i - \overline{Y}a)^2$，$V = \sum{i=7}^{12} (Y_i - \overline{Y}_b)^2$（其中$\overline{Y}a = \frac{1}{6}\sum{i=1}^{6}Y_i$，$\overline{Y}b = \frac{1}{6} \sum{i=7}^{12}Y_i$），不过这两个定义对当前要解决的两个子问题没有直接影响，我们聚焦目标随机变量：

(a)(i) $\sum_{i=1}^{12} \left( \frac{Y_i - \mu}{\sigma} \right)^2$的分布及验证 #

结论 #

该随机变量服从自由度为12的卡方分布，即$\sum_{i=1}^{12} \left( \frac{Y_i - \mu}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(12)$。

验证过程 #

• 首先对每个$Y_i$做标准化变换：令$Z_i = \frac{Y_i - \mu}{\sigma}$，由于$Y_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，根据正态分布的标准化性质，可得$Z_i \sim N(0,1)$（标准正态分布）。
• 因为$Y_1, ..., Y_{12}$独立同分布，所以对应的$Z_1, ..., Z_{12}$也是独立的标准正态随机变量。
• 根据卡方分布的定义：k个独立的标准正态随机变量的平方和，服从自由度为k的卡方分布（记为$\chi^{2(k)$）。这里k=12，因此12个独立标准正态变量的平方和$\sum_{i=1}}{12} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{12} \left( \frac{Y_i - \mu}{\sigma} \right)^{2$服从$\chi}2(12)$分布。

(a)(ii) $\frac{1}{\sqrt{12}}\sum_{i=1}^{12} \left( \frac{Y_i - \mu}{\sigma} \right)$的分布及验证 #

结论 #

该随机变量服从标准正态分布，即$\frac{1}{\sqrt{12}}\sum_{i=1}^{12} \left( \frac{Y_i - \mu}{\sigma} \right) \sim N(0,1)$。

验证过程 #

• 同样先看标准化后的变量$Z_i = \frac{Y_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，且相互独立。
• 先计算$\sum_{i=1}^{12} Z_i$的分布：
  • 期望：$E\left(\sum_{i=1}^{12} Z_i\right) = \sum_{i=1}^{12} E(Z_i) = 12 \times 0 = 0$
  • 方差：$Var\left(\sum_{i=1}^{12} Z_i\right) = \sum_{i=1}^{12} Var(Z_i) = 12 \times 1 = 12$（独立变量的方差可相加）
  • 由于正态随机变量的线性组合仍然是正态变量，因此$\sum_{i=1}^{12} Z_i \sim N(0, 12)$。
• 对$\sum_{i=1}^{12} Z_i$做标准化处理：除以其标准差$\sqrt{12}$，得到$\frac{1}{\sqrt{12}}\sum_{i=1}^{12} Z_i$，该变量的期望为$\frac{1}{\sqrt{12}} \times 0 = 0$，方差为$\frac{1}{12} \times 12 = 1$，因此它服从标准正态分布$N(0,1)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Doadle