寻找序列$a(k)\cdot H_{b(k)}$的非平凡无穷多整数项实例

先明确基础定义：对于整数 $n \geq 1$，我们用 $H_n$ 表示第 $n$ 个调和数，也就是：
$$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

核心问题 #

我们现在要寻找两个算术函数 $a(k)$ 和 $b(k)$——要求它们的每一项都是不小于1的整数——使得序列：
$$a(k)\cdot H_{b(k)},\tag{1}$$
能够包含大量甚至无穷多个整数项。同时，我们希望能找到这个问题的非平凡实例（即避免直接取 $a(k)$ 为 $H_{b(k)}$ 分母这类过于直接的构造）。

已知前置结论 #

这里先给出一个关键的已知结论：当 $n > 1$ 时，$H_n$ 本身并不是整数。这个结论的证明可以在经典数学习题集中找到（比如文献[1]的相关习题）。

实例参考 #

先给一个最直接的平凡实例：取 $b(k) = k$，$a(k) = k!$，此时 $k! \cdot H_k$ 必然是整数，因为 $k!$ 会消去 $H_k$ 中所有分数项的分母。

而更值得探索的非平凡构造方向，可以从调和数的数论性质入手：比如利用素数的同余特性，取 $b(k)$ 为第 $k$ 个素数 $p_k$，尝试构造 $a(k)$ 为 $p_k$ 的某个关联数（而非直接取分母倍数），使得 $a(k) \cdot H_{p_k}$ 为整数；或者利用调和数的递推关系，设计递推形式的 $a(k)$ 和 $b(k)$，让序列中自然出现无穷多整数项。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user243301