关于螺旋线变换曲线β(t)的两个性质证明咨询

嘿，我来帮你搞定a)的证明难题！先把问题条件再明确下：

• 设$\boldsymbol{\alpha}: I \to \mathbb{R}^3$是螺旋线，$\boldsymbol{u}$是与$\boldsymbol{\alpha}'(t)$夹角$\theta$恒定的常单位向量
• $s(t)$是$\boldsymbol{\alpha}$从$t=0$开始的弧长函数，即$s(t) = \int_0^t |\boldsymbol{\alpha}'(\tau)| d\tau$
• 曲线$\boldsymbol{\beta}(t) = \boldsymbol{\alpha}(t) - s(t)\cos\theta \boldsymbol{u}$

我们需要证明：$\boldsymbol{\beta}$包含于过$\boldsymbol{\alpha}(0)$且与$\boldsymbol{u}$正交的平面

证明思路与步骤 #

要证明曲线在指定平面内，核心是验证：对任意$t \in I$，$\boldsymbol{\beta}(t)$满足平面方程。该平面的方程可表示为：
$$(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\alpha}(0)) \cdot \boldsymbol{u} = 0$$
也就是说，我们只需证明$\boldsymbol{\beta}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)$与$\boldsymbol{u}$的点积恒为0即可。

1. 先写出$\boldsymbol{\beta}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)$的表达式：
   $$\boldsymbol{\beta}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0) = \boldsymbol{\alpha}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0) - s(t)\cos\theta \boldsymbol{u}$$

2. 计算它与$\boldsymbol{u}$的点积：
   $$(\boldsymbol{\beta}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)) \cdot \boldsymbol{u} = \left(\boldsymbol{\alpha}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)\right) \cdot \boldsymbol{u} - s(t)\cos\theta (\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u})$$
   因为$\boldsymbol{u}$是单位向量，$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} = 1$，所以上式简化为：
   $$\left(\boldsymbol{\alpha}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)\right) \cdot \boldsymbol{u} - s(t)\cos\theta$$

3. 对这个表达式关于$t$求导，判断其是否为常数：
   求导后得到：
   $$\frac{d}{dt}\left[\left(\boldsymbol{\alpha}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)\right) \cdot \boldsymbol{u}\right] - \cos\theta \cdot \frac{ds(t)}{dt}$$

   • 第一项导数：$\boldsymbol{\alpha}'(t) \cdot \boldsymbol{u}$（因为$\boldsymbol{\alpha}(0)$和$\boldsymbol{u}$都是常向量）
   • 第二项：弧长函数的导数$\frac{ds(t)}{dt} = |\boldsymbol{\alpha}'(t)|$（弧长的基本性质）

4. 利用夹角恒定的条件：
   题目中说$\boldsymbol{u}$与$\boldsymbol{\alpha}'(t)$的夹角$\theta$恒定，根据向量点积的定义：
   $$\boldsymbol{\alpha}'(t) \cdot \boldsymbol{u} = |\boldsymbol{\alpha}'(t)| \cdot |\boldsymbol{u}| \cdot \cos\theta = |\boldsymbol{\alpha}'(t)| \cos\theta$$
   代入导数表达式后：
   $$|\boldsymbol{\alpha}'(t)| \cos\theta - \cos\theta \cdot |\boldsymbol{\alpha}'(t)| = 0$$
   这说明$(\boldsymbol{\beta}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)) \cdot \boldsymbol{u}$是一个常数。

5. 验证初始值：
   当$t=0$时，$s(0)=0$，所以$\boldsymbol{\beta}(0) = \boldsymbol{\alpha}(0) - 0 \cdot \cos\theta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{\alpha}(0)$，此时：
   $$(\boldsymbol{\beta}(0) - \boldsymbol{\alpha}(0)) \cdot \boldsymbol{u} = 0 \cdot \boldsymbol{u} = 0$$
   既然这个点积是常数且初始值为0，那么对所有$t$，$(\boldsymbol{\beta}(t) - \boldsymbol{\alpha}(0)) \cdot \boldsymbol{u} = 0$，即$\boldsymbol{\beta}(t)$始终在指定平面内。

至于b)部分你已经觉得易证，这里就不展开啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matheus Horácio