收敛速度条件问询：满足指定不等式的收敛序列收敛速度是否小于C？

首先直接给核心结论：仅靠你给出的条件，没法断言序列$(x_k)$的收敛速度严格小于$C$，只能得出它的收敛速度不超过$C$的结论。

先澄清关键概念 #

我们常说的“收敛速度小于$C$”，针对的是收敛到0的序列（注：如果序列收敛到非零值，你的条件$|x_{k+1}|\le C|x_k|+o(|x_k|)$且$|C|<1$根本不可能成立——两边取极限会得到$L \le C L$，但$L>0$、$|C|<1$，矛盾，所以默认序列收敛到0），通常用速度因子$\rho$定义：
$$\rho = \limsup_{k\to\infty} \frac{|x_{k+1}|}{|x_k|}$$
“收敛速度小于$C$”等价于$\rho < C$。

反例说明条件的局限性 #

我们可以构造一个完全满足你的条件，但$\rho = C$的序列：
令$x_k = C^k \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right)$（$0 < C < 1$，$C$为负时取绝对值即可，逻辑一致）。

计算相邻项的比值：
$$\frac{|x_{k+1}|}{|x_k|} = C \cdot \frac{1 + \frac{1}{k+1}}{1 + \frac{1}{k}} = C \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = C \cdot \left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)$$

变形后可得：
$$|x_{k+1}| = C|x_k| - \frac{C|x_k|}{(k+1)^2}$$
这里的$-\frac{C|x_k|}{(k+1)^{2}$属于$o(|x_k|)$（因为$\frac{1}{(k+1)}2}$当$k\to\infty$时趋近于0），完全符合$|x_{k+1}| \le C|x_k| + o(|x_k|)$的要求。

但当$k$趋向无穷时，$\frac{|x_{k+1}|}{|x_k|}$的极限就是$C$，也就是$\rho = C$——这说明该序列的收敛速度并没有严格小于$C$，而是等于$C$。

背后的原因 #

你给出的不等式只限制了$|x_{k+1}|$的上界，其中的$o(|x_k|)$项可以是负的（就像反例里那样），但它的“衰减力度”不足以把相邻项比值的上确界拉到$C$以下。只有当条件强化为$|x_{k+1}| \le (C - \epsilon)|x_k| + o(|x_k|)$（$\epsilon > 0$是某个固定正数）时，我们才能笃定收敛速度严格小于$C$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者aleio1