第一类Volterra积分方程求解问询：$x^2=\int_0^x \sin a (x-t)y(t)dt$

你给出的原方程及求解尝试如下：

给定第一类Volterra积分方程：$x^2=\int_0x \sin a (x-t)y(t)dt$（其中$a\ne 0$），我的求解尝试：已知这是第一类Volterra方程，我通过微分将其转化为第二类，对右侧运用莱布尼茨法则得到$2x=\sin a \int_0^x y(t)dt$，这还不是第二类形式，于是再次微分，利用微积分基本定理得到$2=y(x)\sin a$，进而得出$y(x)=\frac{2}{\sin a}$，至此我的思路陷入停滞，恳请专业指导。

你的求解方向是完全正确的——通过微分将第一类Volterra方程转化为更易求解的第二类，但第一次微分时犯了一个关键的小错误：$\sin\left[a(x-t)\right]$是关于$x$和$t$的复合三角函数，并非$\sin a$与$(x-t)$的乘积，不能直接把$\sin a$单独提取出来。这个疏漏导致后续推导偏离了正确轨道，下面咱们一步步完成正确的求解：

步骤1：第一次微分（应用莱布尼茨法则） #

对于含参变量积分$\int_{u(x)}^{v(x)} F(x,t)dt$，莱布尼茨求导法则为：
$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} F(x,t)dt = F(x,v(x))v'(x) - F(x,u(x))u'(x) + \int_{u(x)}^{v(x)} \frac{\partial F}{\partial x}(x,t)dt$$

对应到我们的方程：

• 积分上下限：$u(x)=0$，$v(x)=x$，因此$u'(x)=0$，$v'(x)=1$
• 被积函数：$F(x,t)=\sin\left[a(x-t)\right]$，则$F(x,x)=\sin\left[a(x-x)\right]=\sin0=0$，$F(x,0)=\sin(ax)$，偏导数$\frac{\partial F}{\partial x}=a\cos\left[a(x-t)\right]$

对原方程两边求导：
$$\frac{d}{dx}(x^2) = 0 - \sin(ax)\cdot0 + \int_0^x a\cos\left[a(x-t)\right]y(t)dt$$
化简后得到：
$$2x = a\int_0^x \cos\left[a(x-t)\right]y(t)dt \tag{1}$$

步骤2：第二次微分（转化为第二类Volterra方程） #

对式(1)两边再次应用莱布尼茨法则求导：

• 左边导数：$\frac{d}{dx}(2x)=2$
• 右边被积函数变为$F(x,t)=a\cos\left[a(x-t)\right]$，则$F(x,x)=a\cos0=a$，偏导数$\frac{\partial F}{\partial x}=-a^2\sin\left[a(x-t)\right]$

右边求导结果为：
$$a\cdot y(x)\cdot1 + \int_0^x -a^2\sin\left[a(x-t)\right]y(t)dt$$

结合左右两边，得到：
$$2 = a y(x) - a^2 \int_0^x \sin\left[a(x-t)\right]y(t)dt \tag{2}$$

步骤3：代入原方程简化求解 #

注意到原方程中$\int_0^x \sin\left[a(x-t)\right]y(t)dt = x^2$，将其代入式(2)：
$$2 = a y(x) - a^2 x^2$$

整理后直接解出$y(x)$：
$$a y(x) = 2 + a^2 x^2$$
$$y(x) = \frac{2}{a} + a x^2$$

验证解的正确性 #

将$y(x)=\frac{2}{a}+a x^{2$代回原方程的积分项，通过变量替换（令$s=x-t$）拆分积分并逐项计算，最终结果恰好等于左边的$x}2$，说明这个解是完全正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lock