判断A与B的积分关系：推导正误验证及正确解法问询

嘿，咱们先聊聊你这个尝试的问题哈——你构造的函数$f(x)$求导明显错了！原因很简单：第一个积分$\int_{0}^{x}e{zx - z^2}dz$的被积函数里包含变量$x$，不能直接用普通的变上限积分求导公式（只对上限求导），得用含参变量积分的求导法则（莱布尼茨公式）。

咱们来算一遍正确的$f'(x)$：
已知$f(x)=\int_{0}^{x}e{zx - z^2}dz - \int_{0}^{x}e{-\frac{z^2}{4}}dz$，根据莱布尼茨公式：
$$
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}F(x,z)dz = F(x,b(x))\cdot b'(x) - F(x,a(x))\cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial F}{\partial x}(x,z)dz
$$
这里$a(x)=0$，$b(x)=x$，$F(x,z)=e^{zx - z^2}$，代入得：

1. $F(x,x)=e^{x\cdot x - x^2}=e0=1$，$b'(x)=1$；
2. $F(x,0)=e^{0 - 0}=1$，$a'(x)=0$，这一项为0；
3. $\frac{\partial F}{\partial x}=z e^{zx - z^{2}$，所以积分项是$\int_{0}}{x}z e^{zx - z^2}dz$；
   再加上第二个积分求导得$-e^{-\frac{x2}{4}}$。

所以正确的$f'(x)=1 + \int_{0}^{x}z e^{zx - z^2}dz - e^{-\frac{x2}{4}}$，和你得到的结果完全不一样，说明这个构造思路走不通哦。

正确解法：通过配方+变量替换关联A和B #

咱们从积分$A$的被积函数入手，对指数部分配方是关键：
$$
zx - z^2 = -z^2 + zx = -\left(z^2 - zx + \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{4}\right) = -\left(z - \frac{x}{2}\right)^2 + \frac{x^2}{4}
$$
所以被积函数可以改写为：
$$
e^{zx - z^2} = e^{\frac{x2}{4}} \cdot e^{-\left(z - \frac{x}{2}\right)^2}
$$
代入$A$的表达式：
$$
A = \int_{0}^{x}e{\frac{x^2}{4}} \cdot e^{-\left(z - \frac{x}{2}\right)^2}dz = e^{\frac{x2}{4}} \int_{0}^{x}e{-\left(z - \frac{x}{2}\right)^2}dz
$$

接下来做变量替换：令$t = z - \frac{x}{2}$，则$z = t + \frac{x}{2}$，$dz=dt$。当$z=0$时，$t=-\frac{x}{2}$；当$z=x$时，$t=\frac{x}{2}$。积分上下限变为$-\frac{x}{2}$到$\frac{x}{2}$，所以：
$$
A = e^{\frac{x2}{4}} \int_{-\frac{x}{2}}^{{\frac{x}{2}}e}{-t^2}dt
$$
注意到$e^{-t2}$是偶函数，所以$\int_{-\frac{x}{2}}^{{\frac{x}{2}}e}{-t^2}dt = 2\int_{0}^{{\frac{x}{2}}e}{-t^2}dt$，即：
$$
A = e^{\frac{x2}{4}} \cdot 2\int_{0}^{{\frac{x}{2}}e}{-t^2}dt
$$

现在看$B$，同样做变量替换：令$u = \frac{z}{2}$，则$z=2u$，$dz=2du$。当$z=0$时$u=0$；当$z=x$时$u=\frac{x}{2}$。代入$B$：
$$
B = \int_{0}^{x}e{-\frac{z^2}{4}}dz = \int_{0}^{{\frac{x}{2}}e}{-u^2} \cdot 2du = 2\int_{0}^{{\frac{x}{2}}e}{-u^2}du
$$

对比$A$和$B$的表达式，发现$2\int_{0}^{{\frac{x}{2}}e}{-t^2}dt = B$，所以最终得到：
$$
\boldsymbol{A = e^{\frac{x2}{4}} \cdot B}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT