从无理数到实数的双射构造疑问：给定映射为何不成立？

你提到的这个构造其实是一种非常巧妙的“移位”式双射，但看起来你可能搞反了映射的定义域和值域，这才导致了“无法得到2”的困惑——咱们一步步拆解清楚：

先明确核心前提 #

无理数集$\mathbb I$和实数集$\mathbb R$确实具有相同的基数（都是$\mathfrak c$），所以必然存在双射。这个构造的目标是建立从无理数集到实数集的双射（反过来也一样，双射是可逆的），而不是从实数到实数的映射。

完整的构造细节（补全你看到的版本） #

原构造的完整逻辑应该是这样的：
定义映射$g: \mathbb I \to \mathbb R$：

• 对于所有形如$q + n\sqrt2$的无理数（其中$q\in\mathbb Q$，$n\in\mathbb N^+$，也就是正整数），令$g(q + n\sqrt2) = q + (n-1)\sqrt2$
• 特别地，当$n=1$时，$g(q+\sqrt2)=q$（这一步就是把这类无理数映射到对应的有理数）
• 对于所有其他无理数（也就是不能写成$q+n\sqrt2$形式的无理数），令$g(x)=x$

为什么这个构造是双射？ #

咱们从单射和满射两方面验证：

1. 单射（不会有两个不同的无理数映射到同一个实数） #

• 如果两个无理数都是“不动点”（不在$q+n\sqrt2$的集合里），那它们映射到自身，自然不会冲突
• 如果两个无理数是$q_1 + n_1\sqrt2$和$q_2 + n_2\sqrt2$，若$g(q_1 + n_1\sqrt2)=g(q_2 + n_2\sqrt2)$，则$q_1+(n_1-1)\sqrt2=q_2+(n_2-1)\sqrt2$。因为$\sqrt2$是无理数，有理数部分和无理数部分必须分别相等，所以$q_1=q_2$，$n_1-1=n_2-1$即$n_1=n_2$，所以这两个无理数是同一个
• 不动点的无理数和移位后的数也不会冲突：不动点无理数不能写成$q+k\sqrt2$，而移位后的数要么是有理数（$q$），要么是$q+(n-1)\sqrt2$（还是$q+k\sqrt2$的形式），和不动点完全不同

2. 满射（每个实数都能被某个无理数映射到） #

• 有理数$r$：取无理数$r+\sqrt2$，根据构造，$g(r+\sqrt2)=r$，所以每个有理数都被覆盖到了
• 无理数$x$：如果$x$不能写成$q+n\sqrt2$的形式，那$g(x)=x$，直接覆盖；如果$x$能写成$q+n\sqrt2$（$n\in\mathbb N$），那取无理数$q+(n+1)\sqrt2$，$g(q+(n+1)\sqrt2)=q+n\sqrt2=x$，也被覆盖到了

解决你的“无法得到2”的困惑 #

你之前觉得“永远无法得到2”，是因为你可能把映射方向搞反了——如果是从无理数到实数的双射，那2是有理数，我们可以通过$g(2+\sqrt2)=2$得到它；如果是反过来从实数到无理数的双射，那值域本来就是无理数，2作为有理数确实不在值域里，这是合理的，因为我们要的是实数到无理数的双射，而不是到整个实数的映射。

简单来说，这个构造的本质是：把一个可数的无理子集（${q+n\sqrt2 | q\in\mathbb Q, n\in\mathbb N^+}$）和可数的有理数集做了一个“一一对应”，同时保持其他无理数不动，这样就把整个无理数集“填满”了整个实数集，实现了双射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aemilius