利用泊松近似计算硬币抛掷中恰好2个全1序列的概率

咱们一步步拆解这个问题：现在有1000个独立的、长度为10的公平0/1硬币抛掷序列，要计算其中恰好有2个序列全为1的概率，用泊松近似来解决是很合适的选择。

泊松近似的核心逻辑与公式 #

当二项分布的试验次数$n$很大、单次成功概率$p$极小时，泊松分布可以很好地近似二项分布，对应的概率公式为：
$$\mathbb{P}(Y=k)\approx \frac{\lambda^k}{k!}e{-\lambda}$$
其中：

• $Y$代表近似的泊松随机变量，对应“序列全为1”这个成功事件的发生次数
• $k$是我们要计算的目标发生次数（这里$k=2$）
• $\lambda$是原二项分布的期望，计算方式为$\lambda = n \cdot p$

计算$\lambda$的具体值 #

首先得算出单个序列全为1的概率$p$：因为是公平硬币，每个位置出现1的概率是$0.5$，长度为10的序列全为1的概率就是$0.5^{10} = \frac{1}{1024}$。

接下来代入$\lambda = n \cdot p$，这里$n=1000$，所以：
$$\lambda = 1000 \times \frac{1}{1024} = \frac{125}{128} \approx 0.9766$$

计算恰好2个序列全为1的概率 #

把$\lambda = \frac{125}{128}$和$k=2$代入泊松近似公式，完整展开后是：
$$\mathbb{P}(Y=2)\approx \frac{\left(\frac{125}{128}\right)^2}{2!}e{-\frac{125}{128}}$$

如果要得到数值近似结果，可以分步计算：

1. 先算分子部分：$\left(\frac{125}{128}\right)^2 = \frac{15625}{16384} \approx 0.9537$，除以$2! = 2$后得到$\approx 0.4768$
2. 再算指数部分：$e^{-\frac{125}{128}} = e^{-0.9766} \approx 0.376$
3. 最后将两部分相乘：$\approx 0.4768 \times 0.376 \approx 0.179$

也就是说，这1000个序列中恰好有2个全为1的概率大约是17.9%。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anil