求极限$\lim \limits_{n \to \infty} \bigg(1-\dfrac{1}{n^2}\bigg)^{n}$的值，验证解法及寻快捷方法

你的二项式展开解法正确性验证 #

你的思路完全正确，结果也没问题！用二项式定理展开$\bigg(1-\dfrac{1}{n^2}\bigg){n}$后，展开式的第k+1项为：
$$\binom{n}{k}\left(-\frac{1}{n^2}\right)k = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{(-1)^k}{n{2k}}$$
对于固定的k≥1，分子是n的k次多项式，分母是n的2k次幂，当$n \to \infty$时，每一项的极限都是0；而展开式的第一项是1，所以整个式子的极限就是1，这个推导逻辑严谨。

更快捷的解法 #

方法1：利用重要极限变形 #

我们熟知重要极限$\lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x}=e$，把原式改写为：
$$\bigg(1-\dfrac{1}{n^2}\bigg){n} = \left[\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right){-n^2}\right]{-1/n}$$
当$n \to \infty$时，$\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right){-n^2} \to e$（令$x=-1/n^2$，则$x \to 0$，符合重要极限的条件），而指数$-1/n \to 0$，所以整个式子的极限就是$e^0=1$，一步就能得出结果。

方法2：取对数+等价无穷小 #

设$y_n = \bigg(1-\dfrac{1}{n^2}\bigg){n}$，对两边取自然对数：
$$\ln y_n = n \cdot \ln\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)$$
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，利用等价无穷小$\ln(1+x) \sim x$（$x \to 0$），这里$x=-\frac{1}{n^2}$，所以：
$$\ln\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) \sim -\dfrac{1}{n^2}$$
代入后可得：
$$\ln y_n \sim n \cdot \left(-\dfrac{1}{n^2}\right) = -\dfrac{1}{n} \to 0$$
因此$y_n = e^{\ln y_n} \to e^0=1$，这个方法也很简洁。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DSR