求使c(12X₁²+6X₂²+4X₃²)服从χ₃²分布的未知常数c值

咱们先从χ²分布的核心定义出发——你已经知道，n个独立的**标准正态分布（N(0,1)）**变量的平方和，服从自由度为n的χ²分布（χₙ²）。那咱们的目标就是把给定的表达式，转化成这种“标准正态变量平方和”的形式，就能算出c啦。

第一步：把每个Xₖ转成标准正态变量 #

已知Xₖ ~ N(0,k)，根据正态分布的性质：如果一个变量X服从N(μ, σ²)，那$\frac{X-\mu}{\sigma}$就是标准正态分布N(0,1)。这里每个Xₖ的均值都是0，方差是k，所以标准差就是$\sqrt{k}$。那：

• 对于X₁：$Z_1 = \frac{X_1}{\sqrt{1}} = X_1$，所以$X_1^2 = Z_1^2$，Z₁是N(0,1)的变量
• 对于X₂：$Z_2 = \frac{X_2}{\sqrt{2}}$，所以$X_2^2 = 2Z_2^2$，Z₂也是N(0,1)的变量
• 对于X₃：$Z_3 = \frac{X_3}{\sqrt{3}}$，所以$X_3^2 = 3Z_3^2$，Z₃同样是N(0,1)的变量

而且因为X₁、X₂、X₃是独立的，所以Z₁、Z₂、Z₃也是独立的，这一点是平方和符合χ²分布的关键前提。

第二步：代入原表达式化简 #

把上面的$X_k^{2$代入到$12X_1}2+6X_2^2+4X_32$里，计算一下：

12X₁² + 6X₂² + 4X₃² = 12*Z₁² + 6*(2Z₂²) + 4*(3Z₃²)
= 12Z₁² + 12Z₂² + 12Z₃²
= 12*(Z₁² + Z₂² + Z₃²)

第三步：算出常数c #

现在我们需要c乘以这个表达式后，等于$Z_1^2+Z_22+Z_3^2$（因为这就是χ₃²分布的定义形式）。也就是说：
$c12(Z₁²+Z₂²+Z₃²) = Z₁²+Z₂²+Z₃²$
两边对比一下，显然$c*12=1$，所以$c=\frac{1}{12}$。

咱们验证一下：当$c=\frac{1}{12}$时，原表达式变成$\frac{1}{12}(12X₁²+6X₂²+4X₃²) = X₁² + \frac{X₂²}{2} + \frac{X₃²}{3}$，这不就是$(X₁/\sqrt{1})² + (X₂/\sqrt{2})² + (X₃/\sqrt{3})²$吗？正好是三个独立标准正态变量的平方和，完全符合χ₃²分布的定义，完美！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者statrat403