基于可微函数条件判断|f(x)|与f(x)的单调性问题

首先直接给结论：你的推导过程不正确，不过最终关于$|f(x)|$是递减函数的结论是对的——咱们一步步拆解问题：

你的推导里的核心错误 #

你在对$f(x)f'(x)<0$积分时犯了关键逻辑错误：不等式两边直接积分不能得出$\frac{(f(x))^2}{2}<0$。积分的正确表达式是带常数项的：
$$\int f(x)f'(x)dx = \frac{(f(x))^2}{2} + C$$
原条件是对任意$x$，$f(x)f'(x)<0$，这实际意味着$\frac{d}{dx}\left(\frac{(f(x))^2}{2}\right) = f(x)f'(x) < 0$，也就是函数$\frac{(f(x))^2}{2}$是严格递减的，但它的值始终是非负的（平方除以2不可能为负），你得到$|f(x)|<0$这一步完全不符合逻辑，因为绝对值不可能小于0。

正确的推导思路 #

我们直接对$|f(x)|$求导来判断单调性：
令$g(x) = |f(x)|$，分两种情况讨论：

• 当$f(x) > 0$时，$g(x) = f(x)$，此时由$f(x)f'(x) < 0$可得$f'(x) < 0$，所以$g'(x) = f'(x) < 0$；
• 当$f(x) < 0$时，$g(x) = -f(x)$，此时由$f(x)f'(x) < 0$可得$f'(x) > 0$，所以$g'(x) = -f'(x) < 0$；

不管$f(x)$是正还是负，$g'(x)$始终小于0，所以$|f(x)|$是严格递减函数。

再看$f(x)$本身：当$f(x)>0$时$f'(x)<0$（$f$递减），当$f(x)<0$时$f'(x)>0$（$f$递增），所以$f(x)$不是在整个$\mathbb{R}$上的递减函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者userNoOne