证明当uᵀu=2时，矩阵H=Iₙ-uuᵀ的逆矩阵为其自身

嘿，你卡在矩阵乘法的结合律环节啦！其实关键是处理(uuᵀ)²这一项，咱们一步步拆解：

• 首先利用矩阵乘法结合律：对于矩阵运算，只要维度匹配就可以调整运算顺序。所以(uuᵀ)(uuᵀ)可以重新分组为u(uᵀu)uᵀ。这里要注意，uᵀu是一个标量（因为u是ℝⁿ的列向量，uᵀ是行向量，两者相乘得到1×1的实数），标量和矩阵相乘时可以自由交换位置。
• 代入已知条件uᵀu=2：把这个标量值代入上面的式子，就能得到(uuᵀ)² = u*(2)*uᵀ = 2uuᵀ。
• 现在把这个结果代回你已经推导到的HH表达式：

  HH = Iₙ² - 2uuᵀ + (uuᵀ)²
      = Iₙ - 2uuᵀ + 2uuᵀ  （因为单位矩阵的平方仍是自身，即Iₙ²=Iₙ）
      = Iₙ + (-2uuᵀ + 2uuᵀ)
      = Iₙ
  

• 根据逆矩阵的定义：如果两个矩阵相乘等于单位矩阵，那么它们互为逆矩阵。既然HH=Iₙ，就说明H的逆矩阵就是它自身，也就是H⁻¹=H。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者0rka