是否存在满足约束的实数到有理数的线性变换ax+b？

让我们一步步拆解这个问题，看看什么样的 (a,b \in \mathbb{R}) 能满足要求：

• 先从有理数的条件入手找限制
  首先取 (x=0)（这是个典型的有理数），代入 (ax+b) 可得 (b \in \mathbb{Q})——也就是说，b必须是有理数。
  再取另一个有理数，比如 (x=1)，代入得 (a + b \in \mathbb{Q})。因为b已经是有理数了，而有理数的差依然是有理数，所以 (a = (a+b) - b) 也必然是有理数。

• 再验证无理数的条件
  现在我们确定了a和b都是有理数，接下来分两种情况分析：

  1. 如果 (a \neq 0)：取一个无理数x（比如题目里提到的(\pi)），那么 (ax) 是无理数（非零有理数乘无理数的结果一定是无理数），加上有理数b之后，结果依然是无理数，这就违反了"当x是无理数时，(ax+b \in \mathbb{Q})"的要求。
  2. 如果 (a = 0)：这时候函数退化为常数函数 (f(x)=b)，只要b是有理数，不管x是有理数还是无理数，结果都是b（属于(\mathbb{Q})），完全符合题目中的两个条件。

结论 #

只有当 (a=0) 且 (b) 是任意有理数时，这样的线性变换存在；若 (a \neq 0)，不存在满足条件的实数 (a,b)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Omrane