已知矩阵A的Jordan矩阵，求(A-2I₄)^10+(A+I₄)^7的迹

我们可以利用两个核心性质来简化计算，一步步拆解问题：

关键前提：利用相似矩阵的迹不变性 #

因为$A$和你求得的Jordan矩阵$J$相似（即存在可逆矩阵$P$，使得$A=PJP^{{-1}$），对于任意多项式$f(x)$，都有$f(A)=Pf(J)P}{-1}$。而迹是相似不变量，所以$\text{tr}(f(A))=\text{tr}(f(J))$。再结合迹的线性性质$\text{tr}(X+Y)=\text{tr}(X)+\text{tr}(Y)$，我们只需要计算：
$$\text{tr}\left((J-2I_4)^{10}\right) + \text{tr}\left((J+I_4)^7\right)$$

第一步：计算$\text{tr}\left((J-2I_4)^{10}\right)$ #

先写出$J-2I_4$的分块对角形式：
$$J-2I_4 = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}-3&1\0&-3\end{pmatrix} & 0 \ 0 & \begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix} \end{pmatrix}$$

分块对角矩阵的幂仍是分块对角矩阵，每个块单独计算幂：

• 对于2阶Jordan块$\begin{pmatrix}\lambda&1\0&\lambda\end{pmatrix}$，其$n$次幂公式为$\begin{pmatrix}\lambda^n & n\lambda^{n-1}\0 & \lambda^n\end{pmatrix}$。代入$\lambda=-3, n=10$，得到第一个块的10次幂：
  $$\begin{pmatrix}(-3)^{10} & 10\cdot(-3)^9\0 & (-3)^{10}\end{pmatrix}$$
  它的迹是$(-3)^{10}+(-3){10}=2\cdot3^{10}=2\times59049=118098$
• 第二个块是幂零矩阵（2阶），它的2次幂及以上都是零矩阵，因此10次幂的迹为$0$

所以$\text{tr}\left((J-2I_4)^{10}\right)=118098+0=118098$

第二步：计算$\text{tr}\left((J+I_4)^7\right)$ #

同样写出$J+I_4$的分块对角形式：
$$J+I_4 = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix} & 0 \ 0 & \begin{pmatrix}3&1\0&3\end{pmatrix} \end{pmatrix}$$

按块计算幂：

• 第一个幂零块的7次幂是零矩阵，迹为$0$
• 第二个Jordan块代入$\lambda=3, n=7$，得到7次幂：
  $$\begin{pmatrix}3^7 & 7\cdot3^6\0 & 3^7\end{pmatrix}$$
  它的迹是$3⁷⁺³7=2\cdot3^7=2\times2187=4374$

所以$\text{tr}\left((J+I_4)^7\right)=0+4374=4374$

第三步：合并结果 #

将两个迹相加：
$$118098 + 4374 = 122472$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者needred