求证：当质数q₁q₂q₃q₄q₅+1=p²时，p仅为7、11、13

我目前正在推进一个数论命题的证明：

若( p、q₁、q₂、q₃、q₄、q₅ )均为质数，且满足等式 ( q₁q₂q₃q₄q₅ + 1 = p² )，则质数( p )只能是7、11或13。

到目前为止，我已经完成了以下几步推导：

• 逐一验证了小于7的质数，确认它们都不满足该方程的条件
• 找到了对应( p=7、11、13 )的五组质数( q_1 \sim q_5 )，验证了等式成立
• 证明了一个关键结论：当质数( p>3 )时，( 24=2^3·3 )必然整除( p²-1 )

基于这个结论，我正在推进后续的推导：如果存在大于13的质数( p )满足原方程，那么可以得到 ( q₁q₂q₃q₄q₅ = p² - 1 = 2^3·3·k )（其中( k )为正整数），接下来需要进一步分析这个五质数乘积的质因数结构，以此排除( p>13 )的可能性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Václav Mordvinov