判断P³的子集W是否为子空间，并求其基与维数

首先得说你第一步的判断完全正确！W确实是P³的子空间，咱们补全细节确认一下：

• 零多项式显然属于W，因为$\int ^3_1 0dx=0$；
• 对任意两个多项式$p(x), q(x) \in W$，以及任意数域中的常数$a,b$，有$\int ^3_1[ap(x)+bq(x)]dx = a\int ^3_1p(x)dx + b\int ^3_1q(x)dx = a0 + b0 = 0$，所以$ap(x)+bq(x)$也属于W。结合子空间的定义，W满足所有条件，确实是P³的子空间。

接下来解决你卡住的基的问题：
你已经算出了积分后的约束方程：$2a_0+4a_1+\frac{28}{3}a_2+20a_3=0$，这个方程其实是给P³中的多项式系数加了一个线性约束。因为P³本身是4维空间（标准基是${1, x, x^2, x^3}$），而这个约束是非平凡的线性方程，所以W作为解空间的维数应该是$4-1=3$。

现在我们来构造W的一组基，思路是选取自由变量代入约束方程，得到满足条件的多项式：

1. 令$a_1=1, a_2=0, a_3=0$，代入约束方程得$2a_0 +4*1=0 \Rightarrow a_0=-2$，得到多项式：$p_1(x) = -2 + x$
2. 令$a_1=0, a_2=1, a_3=0$，代入得$2a_0 + \frac{28}{3}*1=0 \Rightarrow a_0=-\frac{14}{3}$，得到多项式：$p_2(x) = -\frac{14}{3} + x^{2$（如果嫌分数麻烦，也可以乘以3得到$3x}2-14$，这也是合法的基元素）
3. 令$a_1=0, a_2=0, a_3=1$，代入得$2a_0 +20*1=0 \Rightarrow a_0=-10$，得到多项式：$p_3(x) = -10 + x^3$

接下来验证这三个多项式线性无关：假设存在常数$k_1,k_2,k_3$使得$k_1p_1(x)+k_2p_2(x)+k_3p_3(x)=0$，展开后是：
$$(-2k_1 - \frac{14}{3}k_2 -10k_3) + k_1x +k_2x^2 +k_3x^3 = 0$$
由于${1,x,x^2,x3}$是P³的一组基，所有系数必须为0，因此$k_1=k_2=k_3=0$，说明这三个多项式线性无关。

同时，任何W中的多项式都可以表示为这三个多项式的线性组合（约束方程把$a_0$用$a_1,a_2,a_3$表示后，$p(x)=a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x)$），所以${x-2, x^2-\frac{14}{3}, x^3-10}$是W的一组基，W的维数为3。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem