复合函数原像等式证明正确性及双向逻辑符号用法咨询

咱们先直接给出结论：原证明不正确，而且里面的$\iff$用法也不合适，甚至整个推导逻辑还混淆了逆像和逆映射的核心概念，得好好捋一捋。

一、原证明的核心问题 #

首先，集合相等的标准证明逻辑是双向包含：要证明$A=B$，必须同时证$A⊆B$和$B⊆A$。但原证明完全没遵循这个范式，而是用了一种模糊的代换推导，逻辑链非常不严谨，甚至还犯了一个关键错误——混淆了逆像（原像）和逆映射的概念：
题目里的$(g\circ f)^{{-1}(H)$、$f}{-1}(g^{{-1}(H))$都是**逆像**（preimage），它针对任意函数都存在，定义是“所有使得函数值落在目标子集里的原元素集合”；而原证明里用的$g}{-1}g(f(x))=f(x)$这类性质，是逆映射（inverse function）的性质，只有当函数是双射的时候才成立，但题目里只说$f$和$g$是普通函数，根本没给双射的条件！这直接导致整个推导的基础就错了。

二、$\iff$的用法问题 #

原证明里的$\iff$确实用得不恰当：

• 首先，在集合包含的单向推导中，我们只需要用$\implies$（推出）就够了。比如证$A⊆B$时，只要证明“若$x∈A$，则$x∈B$”，这是单向的逻辑链。
• 其次，原证明里的推导步骤很多是不可逆的，甚至有些步骤的逻辑关联都没说清楚，强行用$\iff$会让逻辑显得混乱且不严谨。只有当每一步推导都能双向成立时，才能用$\iff$，但原证明显然不满足这个条件。

三、正确的证明过程 #

我们严格基于逆像的定义来重新证明：

先明确逆像的定义：对于函数$k:X→Y$，子集$S⊆Y$，$k^{-1}(S) = {x \in X \mid k(x) \in S}$

第一步：证明$(g\circ f)^{-1}(H) \subseteq f^{-1}(g{-1}(H))$ #

任取$x \in (g\circ f)^{-1}(H)$，根据逆像定义，必有$(g\circ f)(x) \in H$，也就是$g(f(x)) \in H$。
再看$g^{-1}(H)$的定义：它是所有满足$g(y)∈H$的$y∈B$的集合，所以$f(x) \in g^{-1}(H)$。
接着看$f^{-1}(g{-1}(H))$的定义：它是所有满足$f(x)∈g^{-1}(H)$的$x∈A$的集合，所以$x \in f^{-1}(g{-1}(H))$。正向包含得证。

第二步：证明$f^{-1}(g{-1}(H)) \subseteq (g\circ f)^{-1}(H)$ #

任取$x \in f^{-1}(g{-1}(H))$，根据逆像定义，$f(x) \in g^{-1}(H)$。
再根据$g^{-1}(H)$的定义，$g(f(x)) \in H$，也就是$(g\circ f)(x) \in H$。
最后根据$(g\circ f)^{-1}(H)$的定义，$x \in (g\circ f)^{-1}(H)$。反向包含得证。

既然双向包含都成立，那自然有$(g\circ f)^{-1}(H) = f^{-1}(g{-1}(H))$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alea