如何将一个不等式代入另一不等式？含具体数学案例问询

嘿，这个问题其实可以借助指数函数的核心性质一步步拆解，我给你理清楚整个代入和化简的过程：

• 第一步：把第一个不等式转换成指数形式
  首先，函数(2^x)是严格单调递增的——简单说就是，如果(x \leq y)，那必然有(2^x \leq 2^y)。
  已知(f(n) \leqslant a \times g(n))，我们给两边同时套上以2为底的指数，就能得到：
  2^{f(n)} ≤ 2^{a·g(n)}
  再用指数运算法则把右边变形一下：(2^{a·g(n)} = (2^{g(n)})a)，所以现在我们得到了(2^{f(n)})的一个上界：
  2^{f(n)} ≤ (2^{g(n)})^a

• 第二步：代入第二个不等式并化简
  第二个不等式是(2^{f(n)} \leqslant b \times 2^{{g(n)})，既然我们已经知道(2}{f(n)})不会超过((2^{g(n)})a)，那要同时满足两个不等式，就必须让这个上界也不超过第二个不等式的右边，也就是：
  (2^{g(n)})^a ≤ b·2^{g(n)}
  接下来我们可以一步步化简这个式子：

  1. 因为(2^{{g(n)})永远大于0（指数函数的基本性质），所以两边可以安全地除以(2}{g(n)})，得到：
     (2^{g(n)})^{a-1} ≤ b
  2. 给两边同时取以2为底的对数（(\log_2(x))也是严格单调递增的，不等号方向不变）：
     (a-1)·g(n) ≤ \log_2(b)
  3. 最后根据(a)的不同取值，整理出关于(g(n))的不等式：
     • 当(a > 1)时，(a-1)是正数，两边除以它不等号方向不变：g(n) ≤ \frac{\log_2(b)}{a-1}
     • 当(a = 1)时，左边变成(0·g(n) = 0)，式子简化为0 ≤ \log_2(b)，也就是b ≥ 1——这时候只要(b≥1)，第一个不等式代入后对(g(n))没有额外限制（因为(f(n)≤g(n))时，(2^{f(n)}≤2{g(n)}≤b·2^{g(n)})天然成立）
     • 当(a < 1)时，(a-1)是负数，两边除以负数需要反转不等号：g(n) ≥ \frac{\log_2(b)}{a-1} = -\frac{\log_2(b)}{1-a}

• 关键前提提醒

  • 以上推导的大前提是(b > 0)，因为第二个不等式右边的(b·2^{g(n)})必须为正（指数函数本身正），而且对数函数的真数也要求大于0。
  • 哪怕(g(n))是负数，(2^{g(n)})依然是正的，所以除法步骤不受影响，只是最终的不等式结果要结合(g(n))的实际取值范围来判断合理性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3887531