朗道《力学》中拉格朗日量求和等式推导的疑问

嘿，我来帮你一步步理清这里的逻辑，其实核心就是两个关键点：拉格朗日量的结构，以及齐次函数的欧拉定理。

第一步：从$\sum\limits_{i} \dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$过渡到$\sum\limits_{i} \dot{q_i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}$ #

首先回忆拉格朗日量的基本定义：$L = T - V$，其中：

• $T$是系统的动能，它是广义坐标$q_i$和广义速度$\dot{q_i}$的函数；
• $V$是系统的势能，它仅依赖于广义坐标$q_i$（以及可能的时间$t$，但和广义速度$\dot{q_i}$完全无关）。

因为势能$V$和$\dot{q_i}$无关，所以对任意$i$，$\frac{\partial V}{\partial \dot{q_i}} = 0$。那我们对$L$求$\dot{q_i}$的偏导：
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial V}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}$$

把这个结果代入左边的求和式，自然就得到：
$$\sum\limits_{i} \dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} = \sum\limits_{i} \dot{q_i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}$$

第二步：用欧拉齐次函数定理推导$\sum\limits_{i} \dot{q_i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}} = 2T$ #

这里的核心是：动能$T$是广义速度$\dot{q_i}$的二次齐次函数。

什么是二次齐次函数？ #

如果一个函数$f(x_1, x_2, ..., x_n)$满足：对任意常数$\lambda$，都有$f(\lambda x_1, \lambda x_2, ..., \lambda x_n) = \lambda^2 f(x_1, x_2, ..., x_n)$，那它就是二次齐次函数。

为什么$T$是二次齐次函数？
对于质点系，动能的表达式是$T = \frac{1}{2}\sum m_i \dot{\boldsymbol{r}}_i^2$，而每个质点的速度$\dot{\boldsymbol{r}}_i$可以用广义速度线性展开：$\dot{\boldsymbol{r}}_i = \sum_j \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_j} \dot{q_j}$。把这个代入动能表达式，$\dot{\boldsymbol{r}}_i^2$就是$\dot{q_j}$的二次项，所以整个$T$就是所有$\dot{q_i}$的二次齐次函数。

欧拉齐次函数定理的应用 #

欧拉定理的内容是：对于$k$次齐次函数$f(x_1, ..., x_n)$，有如下等式成立：
$$\sum\limits_{i} x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = k f$$

这里$T$是$\dot{q_i}$的二次齐次函数（$k=2$），把定理中的$x_i$替换成$\dot{q_i}$，$f$替换成$T$，直接代入就得到：
$$\sum\limits_{i} \dot{q_i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}} = 2T$$

把这两步结合起来，就完整解释了朗道书中的推导逻辑啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aaaa Bbbb