关于闭区间上连续函数有界性证明的技术问询

嘿，我最近在啃数学分析里的闭区间连续函数有界性证明，碰到了点卡壳的地方，先把教材里的相关内容和我的疑问整理出来：

定理内容 #

设$I:= [a,b]$为闭有界区间，且$f:I\to \mathbb{R}$在$I$上连续，则$f$在$I$上有界。

教材给出的证明过程（我认同的部分） #

假设$f$在$I$上无界，则对任意$n\in \mathbb{N}$，存在$x_n \in I$使得$|f(x_n)| >n$。
这一步的逻辑我完全理解，没问题。

由于$I$有界，序列$X = (x_n)$有界，因此根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，存在$X$的子序列$X' = (x_{n_r})$收敛于某个$x\in \mathbb{R}$。
这一步我也能跟上，但接下来怎么利用$f$的连续性来推出矛盾，从而证明原定理成立呢？我在这里卡住了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zduff