求解满足指定联立方程组的复数z：含共轭复数w的方程问题

首先咱们先解决你觉得棘手的模的问题——其实取模完全有用，能帮我们确定$z$和$w$的模都是1，这会大大简化后续计算：

步骤1：确定$z$和$w$的模 #

对第一个方程$z^2 = -\bar{w}^7$两边取模：
$$|z|^2 = |-\bar{w}^7| = |w|^7$$
（模的性质：$|-a|=|a|$，$|\bar{a}|=|a|$，$|a^n|=|a|n$）

对第二个方程$z^5 w^{11}=1$两边取模：
$$|z|^5 |w|^{11} = |1| = 1$$

设$|z|=r$，$|w|=s$（都是非负实数），代入得：

• $r^2 = s^7$
• $r^5 s^{11} = 1$

把$s = r^{2/7}$代入第二个方程：
$$r^5 \cdot (r^{2/7}){11} = r^{5 + 22/7} = r^{57/7} = 1$$
因为$r$是非负实数，所以$r=1$，进而$s⁷⁼¹2=1$，所以$s=1$。

结论：$z$和$w$都是模为1的复数，也就是说$\bar{z}=z^{{-1}$，$\bar{w}=w}{-1}$（模1的复数的共轭等于它的逆元）。

步骤2：简化方程组求解 #

利用$\bar{w}=w^{-1}$，把第一个方程改写为：
$$z^2 = -w^{-7} \implies z^2 w^7 = -1 \tag{A}$$
第二个方程保持：
$$z^5 w^{11} = 1 \tag{B}$$

现在用方程乘方消元：

• 把(A)式5次方：$z^{10} w^{35} = (-1)^5 = -1$
• 把(B)式2次方：$z^{10} w^{22} = 1^2 = 1$

用(A)^5除以(B)2，消去$z^{10}$：
$$\frac{z^{10} w^{35}}{z{10} w^{22}} = \frac{-1}{1} \implies w^{13} = -1$$

这说明$w$是13次单位根，满足$w^{13}=-1$，即$w = e^{i\frac{(2k+1)\pi}{13}}$（$k$为整数）。

接下来求$z$：从(B)式得$z^5 = w^{{-11}$，结合$w}{13}=-1$，可以把$w^{{-11}$转化为$w}2$的形式（因为$w^{13}=w{11}w^2=-1 \implies w^{11}=-w{-2} \implies w^{-11}=-w2$），所以：
$$z^5 = -w^2$$

再结合(A)式$z^2 = w^{6$（因为$z}2 w^7=-1 \implies z^2=-w{-7}=w^{6$，毕竟$w}{13}=-1$，$w^{-7}=w{6}w^{-13}=w6(-1)^{-1}=-w6$，所以$-w^{-7}=w6$），可得$w = z^{2/6}=z{1/3}$（13和3互质，这个开方是合法的）。

代入$z^5=-w2$：
$$z^5 = - (z^{1/3})2 = -z^{2/3}$$
两边乘$z^{-2/3}$得：
$$z^{13/3} = -1$$
两边3次方最终得到：
$$z^{13} = -1$$

所以$z$的所有解是13次单位根中满足$z^{13}=-1$的复数，即：
$$z = e^{i\frac{(2m+1)\pi}{13}}, \quad m=0,1,...,12$$

关于你提到的“答案为$i$”的验证 #

咱们可以验证一下$z=i$是否满足方程组：

• 代入第一个方程：$i^2 + \bar{w}^7 = -1 + \bar{w}^7=0 \implies \bar{w}^7=1 \implies w^7=1$
• 代入第二个方程：$i^5 w^{11}=i w^{11}=1 \implies w^{11}=-i$

但$w^{7=1$的话，$w}{11}=w^{7+4}=w4=-i$，进而$w^8=(-i)2=-1$，而$w^{7=1$，所以$w}8=w \cdot w^{7=w=-1$，但$w=-1$时$w}7=-1≠1$，矛盾。所以$z=i$并不是这个方程组的解，可能是题目信息存在误差~

另外你提到“$w$不是三次单位根”，我们的解中$w^{{13}=-1$，而三次单位根满足$w}3=1$，显然$w^{13}=w{3\times4+1}=w=-1≠1$，所以所有解中的$w$都不是三次单位根，符合条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Archer