求证：满足条件的子列Cesàro平均收敛可推全序列收敛

这是一个经典的Cesàro平均推广问题，核心是利用{Tₖ}的两个关键性质（趋向无穷、相邻项比值趋于1）结合{aₙ}的有界性来控制误差，一步步推导即可：

第一步：确定n与{Tₖ}的关联 #

对于任意正整数n，总能找到对应的整数k，使得：

Tₖ ≤ n < Tₖ₊₁
因为{Tₖ}趋向于无穷大，当n→∞时，对应的k也必然趋向于无穷大。

第二步：拆分前n项和的平均 #

记前m项和为S(m) = a₁ + a₂ + ... + a_m，则前n项的平均可以拆分为两部分：

S(n)/n = [S(Tₖ) + (S(n) - S(Tₖ))]/n = (S(Tₖ)/Tₖ) * (Tₖ/n) + (S(n)-S(Tₖ))/n

第三步：分别分析两部分的极限 #

第一部分：$(S(Tₖ)/Tₖ) * (Tₖ/n)$ #

• 已知条件给出 $\lim_{k→∞} S(Tₖ)/Tₖ = L$；
• 由 $Tₖ ≤ n < Tₖ₊₁$，可得 $Tₖ/Tₖ₊₁ < Tₖ/n ≤ 1$。因为$\lim_{k→∞} Tₖ/Tₖ₊₁ = 1$，根据夹逼准则，$\lim_{n→∞} Tₖ/n = 1$（n→∞时k→∞）；
• 因此第一部分的极限为 $L * 1 = L$。

第二部分：$(S(n)-S(Tₖ))/n$ #

• $S(n)-S(Tₖ)$ 是$a_{Tₖ+1}$到$a_n$的和，共有$n-Tₖ$项，而每个$|a_i| < M$，所以：

  $|S(n)-S(Tₖ)| ≤ (n-Tₖ) * M$

• 由此可得这部分的绝对值上限：

  |(S(n)-S(Tₖ))/n| ≤ M * (n-Tₖ)/n = M * (1 - Tₖ/n)
  

• 注意到$(n-Tₖ)/n < (Tₖ₊₁ - Tₖ)/Tₖ = (Tₖ₊₁/Tₖ) - 1$，而$\lim_{k→∞} Tₖ₊₁/Tₖ = 1$，所以$(Tₖ₊₁/Tₖ)-1→0$，进而$1 - Tₖ/n→0$；
• 因此第二部分的绝对值趋向于0，即该部分极限为0。

第四步：合并极限结果 #

将两部分的极限相加，得到：
$$\lim_{n→∞} S(n)/n = L + 0 = L$$
证毕。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yuki Kawabata