求使二次方程px²+2x+1=0有实根的p的取值范围（已得解）

咱们一步步来分析这个问题哈：要确定方程有实根时p的取值范围，得分两种情况讨论——因为当p=0的时候，它就不是二次方程了，是一次方程，得单独拎出来看。

• 情况1：$p=0$
  这时候方程简化成 2x + 1 = 0，解为$x=-\frac{1}{2}$，是实实在在的实根，所以p=0是符合要求的。

• 情况2：$p≠0$（此时是标准二次方程）
  二次方程有实根的核心条件是判别式$\Delta≥0$，对于一般形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$，判别式公式是 $\Delta = b^2 - 4ac$。
  代入咱们方程里的参数：$a=p$，$b=2$，$c=1$，计算得：
  $$\Delta = 2^2 - 4 \times p \times 1 = 4 - 4p$$
  要让方程有实根，必须满足 $\Delta ≥ 0$，也就是：
  $$4 - 4p ≥ 0$$
  解这个不等式：
  $$4 ≥ 4p \implies p ≤ 1$$
  再结合前提$p≠0$，所以这种情况下p的范围是 p≤1且p≠0。

把两种情况合并起来，最终能让方程有实根的p的取值范围就是：$p≤1$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者C.Cam