如何证明函数$f(x)=\sin(x)+x^2-x-1$恰有两个零点？

嘿，这个问题其实可以通过导数分析函数的单调性和极值来彻底解决，咱们一步步拆解：

首先计算原函数的一阶导数：
f’(x) = cos(x) + 2x - 1

为了判断f’(x)的单调性，我们再求二阶导数：
f''(x) = -sin(x) + 2
因为sin(x)的取值范围是[-1,1]，所以2 - sin(x)最小是2-1=1，始终大于0。这说明f’(x)在全体实数范围内是严格单调递增的。

既然f’(x)严格递增，那它最多只有一个零点。我们代入x=0试试：
f’(0) = cos(0) + 0 - 1 = 1 - 1 = 0
刚好x=0就是f’(x)的零点！那我们就能得出：

• 当x < 0时，因为f’(x)递增，所以f’(x) < f’(0) = 0，原函数f(x)在(-∞, 0)上严格单调递减；
• 当x > 0时，f’(x) > f’(0) = 0，原函数f(x)在(0, +∞)上严格单调递增。

x=0就是f(x)的极小值点（同时也是最小值点），我们算一下这个最小值：
f(0) = sin(0) + 0² - 0 -1 = -1 < 0

现在结合单调性和端点/极限情况，分别看左右两个区间：

左侧区间(-∞, 0) #

f(x)在这里严格递减，而且：

• 当x→-∞时，x²项的增长速度远超过其他项，sin(x)是有界的，所以f(x)会趋向于+∞；
• 而f(0)=-1<0，你已经找到在[-π/2, 0]有一个零点。

因为严格递减的函数从+∞降到-1，必然只会穿过x轴一次，所以**(-∞, 0)上有且仅有一个零点**。

右侧区间(0, +∞) #

f(x)在这里严格递增，而且：

• f(0)=-1<0；
• 当x→+∞时，x²项主导，f(x)趋向于+∞；
• 你已经找到在[0,5]有一个零点。

严格递增的函数从-1升到+∞，也只会穿过x轴一次，所以**(0, +∞)上有且仅有一个零点**。

综合以上分析，f(x)在整个实数域内只有两个零点，不存在更多的零点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WantToKnowMath