级数变形与极限求解：求指定无穷级数的极限L

嘿，这个级数的裂项技巧确实有点隐蔽，我来一步步给你拆解明白~

首先我们需要构造出望远镜级数（也就是能前后抵消的级数），关键在于找到这个分式的裂项形式。先看一个核心恒等式：

$$\frac{2^r}{5{2^r} - 1} - \frac{2^{r+1}}{5{2^{r+1}} - 1} = \frac{2^r}{5{2^r} + 1}$$

验证这个恒等式 #

因为$5^{2{r+1}} = (5^{2r})^{2$，所以根据平方差公式：$5}{2^{r+1}} - 1 = (5^{2r} - 1)(5^{2r} + 1)$。我们把左边通分计算：
$$
\begin{align*}
&\frac{2^r}{5{2^r}-1} - \frac{2^{r+1}}{(5{2^r})2 -1} \
=&\frac{2^r(5{2^r}+1) - 2^{r+1}}{(5{2^r}-1)(5{2^r}+1)} \
=&\frac{2^r \cdot 5^{2r} + 2^r - 2^{r+1}}{(5{2^r}-1)(5{2^r}+1)} \
=&\frac{2^r(5{2^r} - 1)}{(5^{2r}-1)(5^{2r}+1)} \
=&\frac{2^r}{5{2^r}+1}
\end{align*}
$$

完美，这个恒等式成立！接下来就可以用它来改写原级数的部分和了。

计算部分和并取极限 #

设$S_n = \sum_{r=0}^n \frac{2^r}{5{2^r}+1}$，代入上面的裂项式：
$$
S_n = \sum_{r=0}^n \left( \frac{2^r}{5{2^r} - 1} - \frac{2^{r+1}}{5{2^{r+1}} - 1} \right)
$$

把这个求和展开，就是典型的望远镜求和：

• 当$r=0$时：$\frac{1}{5^1 - 1} - \frac{2}{5^2 - 1} = \frac{1}{4} - \frac{2}{24}$
• 当$r=1$时：$\frac{2}{5^2 -1} - \frac{4}{5^4 -1} = \frac{2}{24} - \frac{4}{624}$
• ...
• 当$r=n$时：$\frac{2^n}{5{2^n} -1} - \frac{2^{n+1}}{5{2^{n+1}} -1}$

把这些项加起来，中间所有的项都会相互抵消，最后剩下：
$$
S_n = \frac{1}{4} - \frac{2^{n+1}}{5{2^{n+1}} -1}
$$

现在求$n \to \infty$时的极限：$5^{2{n+1}}$是指数塔增长，速度远远快于分子的$2^{{n+1}$，所以$\frac{2}{n+1}}{5^{2{n+1}} -1} \to 0$。因此：
$$
L = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ishan Sharma