如何用Markov不等式证明随机变量X的概率下界P(X≥49m/100)≥1/51？

嘿，我完全懂你的疑惑——Markov不等式平时都是用来给概率上界的（比如$P(X \geq a) \leq \mathbb{E}[X]/a$），乍一看好像没法直接用来求下界，但只要我们换个角度构造辅助变量，就能完美套用它来解决这个问题。下面一步步拆解：

已知条件回顾 #

• 随机变量满足 $0 \leq X \leq m$（$m>1$）
• 已证得期望下界：$\mathbb{E}[X] \geq m/2$

关键技巧：构造补集随机变量 #

Markov不等式要求变量非负，且只能直接给出“变量大于等于某个值”的概率上界。那我们可以构造一个新的非负随机变量：
$$Y = m - X$$
因为$X \leq m$，所以$Y \geq 0$，完全符合Markov不等式的适用条件。

第一步：计算Y的期望 #

利用期望的线性性质：
$$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[m - X] = m - \mathbb{E}[X]$$
结合已知的$\mathbb{E}[X] \geq m/2$，代入得：
$$\mathbb{E}[Y] \leq m - \frac{m}{2} = \frac{m}{2}$$

第二步：把目标概率转化为Y的概率 #

我们要证的是$P(X \geq 49m/100) \geq 1/51$，先把这个事件转化为关于Y的事件：
$$X \geq \frac{49m}{100} \iff m - X \leq m - \frac{49m}{100} = \frac{51m}{100}$$
也就是：
$$P\left(X \geq \frac{49m}{100}\right) = P\left(Y \leq \frac{51m}{100}\right)$$
而根据概率的补集性质：
$$P\left(Y \leq \frac{51m}{100}\right) = 1 - P\left(Y > \frac{51m}{100}\right)$$

第三步：对Y套用Markov不等式 #

Markov不等式的形式是：对于非负随机变量Z和正数c，有$P(Z \geq c) \leq \frac{\mathbb{E}[Z]}{c}$。这里我们用$P(Y > 51m/100) \leq P(Y \geq 51m/100)$（连续型变量单点概率为0，离散型也不影响不等式方向），所以：
$$P\left(Y > \frac{51m}{100}\right) \leq \frac{\mathbb{E}[Y]}{\frac{51m}{100}}$$
把$\mathbb{E}[Y] \leq m/2$代入：
$$P\left(Y > \frac{51m}{100}\right) \leq \frac{\frac{m}{2}}{\frac{51m}{100}} = \frac{1}{2} \times \frac{100}{51} = \frac{50}{51}$$

第四步：回代得到X的概率下界 #

把上面的结果代入补集公式：
$$P\left(X \geq \frac{49m}{100}\right) = 1 - P\left(Y > \frac{51m}{100}\right) \geq 1 - \frac{50}{51} = \frac{1}{51}$$

这样就完成了证明！核心思路就是通过构造补集变量，把原本需要求下界的问题，转化为可以用Markov不等式求上界的问题，再通过补集关系得到最终结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Addem