求证：是否存在n个小于s的正实数，其非平凡有理线性组合均不为整数

嘿，这个问题挺有意思的！答案是肯定的——不管n是多大的正整数，s是多大的正实数，我们总能找到n个小于s的正实数x₁到xₙ，满足它们任意非平凡有理系数线性组合都不是整数。下面给你两种直观的构造思路和对应的证明：

我们可以借助超越数的性质来实现目标。超越数是指不满足任何非零有理系数多项式方程的实数（比如e、π，或者构造出来的Liouville数），它们的核心特点是：非零有理系数多项式在超越数处的取值一定不是代数数——而整数都是代数数，自然不可能等于整数。

具体构造步骤：

• 找一个正的超越数t，让它小于min(s, 1)（比如把经典的Liouville数缩放到足够小的范围）。
• 令x₁=t，x₂=t²，x₃=t³……直到xₙ=tⁿ。因为t<1，所以tⁿ≤t<s，每个x_i都严格小于s，满足条件。

证明过程：
假设存在不全为0的有理数a₁,a₂,…,aₙ，使得a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ是整数。代入x_i的表达式后，这等价于一个非零的有理系数多项式P(t) = a₁t + a₂t² + … + aₙtⁿ的值等于整数。但t是超越数，非零有理系数多项式在超越数上的取值必然不是代数数，而整数属于代数数，这就产生了矛盾。因此这种情况不可能发生，满足题目的要求。

如果不想用超越数，我们可以用有理数域上线性无关的无理数来构造，核心是确保它们的非平凡有理组合不可能是有理数（自然也就不可能是整数）。

具体构造步骤：

• 选取n个不同的素数p₁,p₂,…,pₙ，我们知道√p₁, √p₂, …, √pₙ在有理数域上是线性无关的（简单来说，你没法用有理数系数的组合把它们加起来等于0，除非所有系数都是0）。
• 找一个足够大的正整数M，使得每个√p_i / M < s（比如M取大于max(√p₁, √p₂, …, √pₙ)/s的整数即可），然后令x_i = √p_i / M。显然每个x_i都严格小于s。

证明过程：
假设存在不全为0的有理数a₁,…,aₙ，使得a₁x₁ + … + aₙxₙ是整数。把等式两边乘以M，得到a₁√p₁ + … + aₙ√pₙ = m*M（m是整数）。左边是Q-线性无关的无理数的非平凡组合，结果必然是无理数；而右边是整数，属于有理数。无理数不可能等于有理数，这就矛盾了，因此这种构造也满足条件。

其实两种思路的核心逻辑是一致的：让x_i的非平凡有理系数组合要么是超越数，要么是无理数，反正都不可能是整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nan