子集和的测度估计：能否将m(A+B)与m(A)、m(B)关联？

先直接纠正你的猜想：$m(A+B) \leq m(A) + m(B)$ 这个结论并不成立，反而在不少场景下，和集的勒贝格测度会显著大于两个集合测度的和。下面从一维到n维，梳理这个问题的核心结论：

一维实数集（$\mathbb{R}$）的情况 #

对于$\mathbb{R}$里的非空紧可测集$A,B$，有一个非常直观的下界结论：
$$m(A+B) \geq m(A) + m(B)$$
这是n维Brunn-Minkowski不等式在一维时的特例。

• 等号什么时候成立？
  当且仅当$A$和$B$是平移后的区间（或者其中一个是单点集，此时测度和等于另一个集合的测度，和集测度也完全一致）。比如你举的区间例子：$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$，测度刚好是$(b-a)+(d-c)$，完美符合等号条件。
• 严格大于的例子：
  • 取$A = [0,1] \cup [2,3]$（测度$m(A)=2$），$B=[0,1]$（测度$m(B)=1$），那么$A+B$就是$[0,2] \cup [2,4]$，也就是$[0,4]$，测度是$4$，明显大于$2+1=3$。
  • 更极端的情况：经典的Cantor集$C$（测度为0），它的和集$C+C$是整个区间$[0,2]$，测度为2，这直接说明测度为0的集合，它们的和集测度可以远大于两者测度之和。

n维欧氏空间（$\mathbb{R}^n$）的情况 #

处理n维和集测度的核心定理是Brunn-Minkowski不等式，这是测度论里关于和集的基础结论：
对于$\mathbb{R}^n$中的非空紧可测集$A,B$，有
$$m(A+B)^{1/n} \geq m(A)^{1/n} + m(B)^{1/n}$$
把两边n次方后，就能得到和集测度的下界：
$$m(A+B) \geq \left( m(A)^{1/n} + m(B)^{1/n} \right)^n$$

• 等号成立的条件：
  当且仅当$A$和$B$是凸集，并且存在$\lambda \geq 0$和$x \in \mathbb{R}^n$，使得$A = \lambda B + x$（简单说就是两个集合是相似的凸集，只差一个平移）。比如n维单位立方体$[0,1]^{n$和自身的和集是$[0,2]}n$，测度为$2^{n$，代入不等式：$(1}{1/n}+1^{1/n})n=2^n$，刚好取到等号，完全符合条件。
• 关于上界的说明：
  和集测度没有类似线性的上界（比如$m(A+B) \leq C(m(A)+m(B))$这种形式）。随着维度升高，和集的测度增长速度会远快于单个集合测度的和。比如n维单位球$B(0,1)$，它的和集是$B(0,2)$，测度是$2^n \cdot m(B(0,1))$，而两个单位球的测度和是$2 \cdot m(B(0,1))$，当$n \geq 2$时，$2^n$会远大于2，差距会越来越大。

总结 #

• 你最初猜想的$m(A+B) \leq m(A)+m(B)$是错误的，相反，和集测度有一个基于Brunn-Minkowski不等式的下界：一维时是线性下界$m(A+B) \geq m(A)+m(B)$，n维时是幂次形式的下界。
• 只有当集合满足特定条件（比如一维的区间、n维的相似凸集）时，和集测度才会等于这个下界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex M.