求满足二次方程根条件的不同非零整数a,b,c,d的和

让我们一步步拆解这个问题，核心思路是利用韦达定理建立根与系数的关系，再结合整数的限制条件筛选出符合要求的解：

首先，根据韦达定理，从两个方程的根与系数关系列出关键等式：

1. 因为c、d是方程x² + ax + b = 0的解，所以：
   • c + d = -a（两根之和等于一次项系数的相反数）
   • c*d = b（两根之积等于常数项）
2. 因为a、b是方程2x² - cx - 20d = 0的解，所以：
   • a + b = c/2（二次项系数为2，两根之和为-B/A，这里B是-c，因此结果为c/2）
   • a*b = -20d/2 = -10d（两根之积为C/A，这里C是-20d）

接下来，把第一个等式中的b = c*d代入a*b = -10d：
由于d是非零整数，两边可以同时除以d，得到 a*c = -10。

这一步是突破口，因为a、c都是非零整数且绝对值小于11，我们可以列出所有满足a*c=-10的整数对：

• (1, -10), (-1, 10), (2, -5), (-2,5), (5,-2), (-5,2), (10,-1), (-10,1)

现在逐个验证这些组合，结合剩余条件：

有效组合验证： #

当(a,c)=(-5,2)时：

• 由c + d = -a，得2 + d = 5，解得d=3
• 由b = c*d，得b=2*3=6
• 验证a + b = c/2：左边-5+6=1，右边2/2=1，等式成立
• 验证a*b = -10d：左边(-5)*6=-30，右边-10*3=-30，等式成立
• 最后检查所有数：a=-5，b=6，c=2，d=3，均为互不相同的非零整数，且绝对值都小于11，完全符合题目要求！

最终计算：a+b+c+d = (-5)+6+2+3=6，与已知答案一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3753