$\mathbb{R}^4$中齐次方程组解为超平面时向量张成空间的几何意义证明

设$\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3, \vec v_4$为$\mathbb R^4$中的非零向量，若方程组$\begin{bmatrix} \vec v_1 & \vec v_2 & \vec v_3 & \vec v_4 \space | \space \vec 0 \end{bmatrix}$的解集为超平面，求$Span \left {\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3, \vec v_4\right }$的几何意义。通过实例得知其几何意义为过原点的直线，但不知如何进行严谨证明。

严谨证明过程 #

其实这个问题的核心就是把解空间维度和矩阵秩（也就是张成空间的维度）关联起来，一步步推导就很清晰了：

1. 明确基础定义

   • 题目中的方程组是齐次线性方程组$A\vec{x}=\vec{0}$，其中$A$是$4\times4$矩阵，它的列向量就是$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3},\vec{v_4}$。
   • $\mathbb R^4$里的超平面是维度为3的线性子空间（整个空间维度是4，超平面比它低1维）。

2. 应用秩-零度定理
   线性代数里的秩-零度定理指出：对于$m\times n$矩阵$A$，有$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$，其中$\text{nullity}(A)$是解空间（零空间）的维度。
   这里变量个数$n=4$，解空间是超平面，所以$\text{nullity}(A)=3$，代入公式可得：
   $$\text{rank}(A) = 4 - 3 = 1$$

3. 关联张成空间的维度
   矩阵$A$的秩等于它的列向量组的秩，而列向量组的秩就是$Span{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3},\vec{v_4}}$的维度。
   既然$\text{rank}(A)=1$，说明这个张成空间是1维线性子空间。

4. 1维子空间的几何意义
   在$\mathbb R^4$中，1维线性子空间就是过原点的直线——因为1维子空间可以由单个非零向量的所有数乘倍数构成，这些点在空间中就是一条穿过原点的直线，而题目里的$\vec{v_i}$都是这条直线上的非零向量。

反向验证逻辑 #

如果张成空间是过原点的直线（维度1），那么矩阵$A$的秩就是1，根据秩-零度定理，解空间维度是$4-1=3$，正好是$\mathbb R^4$中的超平面，完全符合题目给出的条件，这也反过来验证了结论的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex Twin