构造满足特定Lebesgue测度性质的稠密集E及无理数分割问题

嘿，这个问题涉及到测度论里的经典构造技巧，我来给你拆解清楚：

首先明确你的核心要求：集合E和它的补集$E^{c$在$\mathbb{R}$中稠密、Lebesgue测度均为正，且**对任意非退化区间$[u,v]$，E和$E}c$在该区间内的测度恰好各占一半**（因为两者测度之和等于区间长度，所以$\lambda(E∩[u,v])=\lambda(E^c∩[u,v])=(v-u)/2$，自然大于0）。

答案是存在，可以通过递归构造的方法实现：

• 先在单位区间$[0,1]$上构造：
  1. 第1步：将$[0,1]$拆分为两个等长子区间$[0,1/2]$和$[1/2,1]$，令$E∩[0,1/2] = [0,1/2]$，$E∩[1/2,1] = ∅$。此时$[0,1]$内E的测度为$1/2$，补集测度也为$1/2$。
  2. 第2步：把每个长度为$1/2$的子区间再拆分为两个长度$1/4$的子区间：对$[0,1/2]$，令$E∩[0,1/4] = ∅$，$E∩[1/4,1/2] = [1/4,1/2]$；对$[1/2,1]$，令$E∩[1/2,3/4] = [1/2,3/4]$，$E∩[3/4,1] = ∅$。此时每个子区间内E和补集各占一半测度。
  3. 递归下去：对第n步的所有长度为$1/2^{n$的子区间，每个都拆分为两个长度$1/2}{n+1}$的子区间，交替让其中一半属于E，另一半属于$E^c$。
• 把这个构造扩展到整个实数轴：对每个整数区间$[k,k+1]$（$k∈\mathbb{Z}$），都重复上述$[0,1]$的构造。

这样得到的E满足所有条件：

• 稠密性：任何非退化区间都包含任意小的子区间，而每个子区间内都同时有E和$E^{c$的点，因此E和$E}c$在$\mathbb{R}$中都稠密。
• 测度条件：对任意区间$[u,v]$，通过递归构造的对称性，E和$E^{c$在该区间内的测度恰好各为$(v-u)/2$，自然满足$\lambda(E∩[u,v])=\lambda(E}c∩[u,v])>0$。

这里的“等测度”应该理解为：对任意有界区间$[u,v]$，两个子集与该区间的交集的测度相等（因为无理数集的测度是无穷大，所以只能在有界区间上谈“等测度”）。

答案也是存在，而且有个很简单的方法：
利用问题一中构造的集合E，定义：

• $A = E ∩ \mathbb{Q}^c$（E与无理数集的交集）
• $B = E^c ∩ \mathbb{Q}^c$（E的补集与无理数集的交集）

验证一下：

• 稠密性：E和$E^{c$本身在$\mathbb{R}$中稠密，而无理数集$\mathbb{Q}}c$也是稠密的，去掉可数集$\mathbb{Q}$（不影响稠密性）后，A和B依然在$\mathbb{R}$中稠密。
• 等测度：因为$\mathbb{Q}$的Lebesgue测度为0，所以$\lambda(A∩[u,v])=\lambda(E∩[u,v])=(v-u)/2$，$\lambda(B∩[u,v])=\lambda(E^c∩[u,v])=(v-u)/2$，恰好相等。

当然你也可以直接构造：比如把无理数按十进制无限展开（不含结尾全9的形式），定义A为小数点后第1位是奇数的无理数，B为第1位是偶数的无理数——不过这个构造要注意排除结尾全9的情况，不如上面的方法简洁。

你的动机是构造处处不连续且几乎处处不等于分段连续函数的函数，刚好可以用上面的集合E来定义：
令 f(x) = 1 当 x ∈ E，f(x) = 0 当 x ∈ E^c。

这个函数满足：

• 处处不连续：对任意$x∈\mathbb{R}$，任何包含x的区间内都同时有E和$E^c$的点，因此f在x处的上下极限分别为1和0，不相等，故处处不连续。
• 几乎处处不等于任何分段连续函数：对任意分段连续函数g，g在每个连续段上是连续的，而f在每个区间内都有一半点取1、一半点取0，因此f和g在每个连续段上的交集测度都小于该段长度，即两者几乎处处不相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Netchaiev