互素理想下(I₁…Iₙ)M与I₁M∩…∩IₙM相等的反向证明问询

Hey，我最近自学代数学的时候也碰到过这个结论，刚好能给你梳理一下反向包含的证明思路！

首先先把结论再明确一下：

设环$R$的理想$I₁,…,Iₙ$两两互素，$M$为$R$-模，则有$(I₁I₂⋯Iₙ)M = I₁M∩⋯∩IₙM$。

你说的没错，正向包含$(I₁I₂⋯Iₙ)M \subseteq I₁M∩⋯∩IₙM$确实很直观——毕竟$I₁I₂⋯Iₙ \subseteq I_j$对每个$j$都成立，所以对应的模乘积自然包含在每个$I_jM$的交集中。但反向的$I₁M∩…∩IₙM \subseteq (I₁I₂⋯Iₙ)M$才是难点，我们可以从两两互素的核心性质入手来突破。

先明确符号定义：(I₁…Iₙ)M = {∑ i₁…iₙm：有限和，其中i_j ∈ I_j, m ∈ M}。

两两互素的理想有个关键推广性质：对于$n$个两两互素的理想$I₁,…,Iₙ$，一定存在元素$a₁∈I₁,a₂∈I₂,…,aₙ∈Iₙ$，使得$a₁+a₂+…+aₙ=1$（这里默认环$R$含单位元，毕竟互素的定义里用到了1）。这个性质是证明的核心，我们可以先从$n=2$的简单情况入手理解：

• 当$n=2$时，取$m ∈ I₁M∩I₂M$，那么$m = i₁m₁ = i₂m₂$，其中$i₁∈I₁,i₂∈I₂,m₁,m₂∈M$。
• 因为$I₁$和$I₂$互素，存在$k₁∈I₁,k₂∈I₂$使得$k₁+k₂=1$。
• 把$m$写成$1·m = (k₁+k₂)m = k₁m + k₂m$：
  • 代入$m=i₂m₂$，$k₁m = k₁i₂m₂ ∈ I₁I₂M$（因为$k₁∈I₁,i₂∈I₂$）；
  • 代入$m=i₁m₁$，$k₂m = k₂i₁m₁ ∈ I₂I₁M = I₁I₂M$（理想乘积交换）；
• 两项都属于$I₁I₂M$，所以$m$也属于$I₁I₂M$，$n=2$的情况得证。

接下来用数学归纳法推广到任意$n$：

• 归纳基：$n=1$时结论显然成立，$n=2$已证；
• 归纳假设：假设对于$n=k$，$I₁M∩…∩I_kM = (I₁…I_k)M$成立；
• 归纳步骤：考虑$n=k+1$，首先$I₁…I_k$与$I_{k+1}$互素（因为每个$I_j$都和$I_{k+1}$互素，它们的乘积自然也与$I_{k+1}$互素）。然后利用归纳假设和$n=2$的结论：
  $$I₁M∩…∩I_kM∩I_{k+1}M = (I₁…I_k)M ∩ I_{k+1}M = (I₁…I_kI_{k+1})M$$
• 这样就完成了归纳，任意$n$的情况都成立。

如果你不想用归纳法，也可以直接利用单位元的展开式：
因为$\sum_{j=1}^n a_j=1$，那么$1^n = (\sum_{j=1}^n a_j)^n$，展开后每一项都是$a_{t_1}a_{t_2}…a_{t_n}$（其中每个$t_s ∈ {1,2,…,n}$）。对于任意$m ∈ ∩I_jM$，$m = 1^n·m$，展开后的每一项$a_{t_1}…a_{t_n}m$：

• 对于任意$j$，$m ∈ I_jM$即$m = i_jm_j$（$i_j∈I_j$），如果当前项里没有$a_j$，就把$m$替换成$i_jm_j$，这样项里就包含了$I_j$的因子，最终每一项都属于$(I₁…I_n)M$，它们的和自然也在其中。

需要注意的是，这里默认环$R$是含单位元的交换环，这也是两两互素理想性质成立的前提哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PaulDavis