如何化简公式(1)使r项位于分子且分母不含r

首先先明确原公式(1)：
$$\mathcal{L_I} = \frac{1}{1 + xT\left(\frac{r}{n}\right)^\alpha \frac{P_o}{P_c}} \tag{1}$$

精确代数变形（r出现在分子） #

如果只是要求r项出现在分子中，我们可以通过代数调整式子结构：
先定义一个不含r的常数 $K = \frac{x T P_o}{n^\alpha P_c}$，将原式简化为：
$$\mathcal{L_I} = \frac{1}{1 + K r^\alpha}$$

接着给分子分母同乘 $r^{-\alpha}$，就能让r项出现在分子里：
$$\mathcal{L_I} = \frac{r^{-\alpha}}{r{-\alpha} + K}$$
不过这里要说明，这是原公式能做到的精确变形——原公式本身是关于r的分式，无法在保持精确性的同时让分母完全不含r项。

近似化简（满足分母不含r项） #

如果你的核心需求是分母完全不含r项，我们可以用泰勒展开做近似处理：
当 $K r^\alpha \ll 1$（也就是r取值足够小）时，$\frac{1}{1 + K r^\alpha} \approx 1 - K r^\alpha$，代入K的表达式后得到：
$$\mathcal{L_I} \approx 1 - \frac{x T P_o}{n^\alpha P_c} r^\alpha$$

再把这个近似式整理成分式形式，就能让分母变成不含r的常数：
$$\mathcal{L_I} \approx \frac{n^\alpha P_c - x T P_o r^\alpha}{n\alpha P_c}$$
这个形式完美符合你要求的「r项在分子、分母不含r」的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SJa