微分方程中正交轨线求解验证：请求检查求解过程正确性

我正在尝试求解方程$x^2+y2=Cx$的正交轨线，以下是我的求解步骤，希望大家帮忙检查是否正确：

$$
\begin{align}
2x+2yy'&=C\
x+yy'&=C\
yy'&=C-x\
y'&=\frac{C-x}{y} \quad \text{<- 原曲线的微分方程}\
y'&=-\frac{y}{C-x} \quad \text{<- 正交轨线的微分方程}\
\frac{dy}{dx}&=-\frac{y}{C-x} \
\int \frac{dy}{y}&=-\int \frac{dx}{C-x} \
-\ln|y|&=-\ln|C-x|+\ln|C| \
\ln|y|&=\ln|C-x|-\ln|C| \
|y|&=|C-x|-|C| \
y&=K-x-C \
\end{align}
$$

我的求解过程里的错误点： #

1. 求导后的化简错误：
   原方程求导得到$2x+2yy'=C$，两边除以2应该是$x+yy'=\frac{C}{2}$，而不是直接等于$C$，这一步直接导致后续原曲线微分方程的错误。

2. 未消去参数$C$：
   原曲线方程里的$C$是参数，需要用原方程把$C$用$x$和$y$表示出来（$C=\frac{x^2+y2}{x}$，$x≠0$），代入求导后的式子，才能得到只含$x,y,y'$的微分方程，保留$C$的话无法正确求解正交轨线。

3. 积分运算错误：
   计算$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{C-x}$时，右边积分的结果应该是$\ln|C-x|+\ln|K|$（因为$-\int \frac{dx}{C-x}=\ln|C-x|+C$），后续对数变形也出错了：$\ln|y|=\ln|C-x|-\ln|C|$应该推出$|y|=\frac{|C-x|}{|C|}$，而不是$|y|=|C-x|-|C|$，这是对数运算法则的误用。

正确的求解步骤： #

1. 推导原曲线的微分方程

对$x^2+y2=Cx$两边关于$x$求导：
$$2x+2yy'=C$$
从原方程解出$C=\frac{x^2+y2}{x}$，代入上式：
$$2x+2yy'=\frac{x^2+y2}{x}$$
两边乘$x$消去分母并整理：
$$2x^2+2xyy'=x2+y^2 \implies 2xyy'=y^2-x2$$
得到原曲线的微分方程：
$$y'=\frac{y^2-x2}{2xy}$$

2. 得到正交轨线的微分方程

正交轨线的斜率是原曲线斜率的负倒数，因此：
$$y'=-\frac{2xy}{y^2-x2}=\frac{2xy}{x^2-y2}$$

3. 求解正交轨线的微分方程

这是齐次微分方程，令$u=\frac{y}{x}$（即$y=ux$），则$y'=u+x\frac{du}{dx}$，代入方程：
$$u+x\frac{du}{dx}=\frac{2x\cdot ux}{x^2-(ux)2}=\frac{2u}{1-u^2}$$
移项分离变量：
$$x\frac{du}{dx}=\frac{2u}{1-u^{2}-u=\frac{u(1+u}2)}{1-u^2} \implies \frac{1-u^2}{u(1+u2)}du=\frac{dx}{x}$$
拆分左边分式并积分：
$$\int\left(\frac{1}{u}-\frac{2u}{1+u^2}\right)du=\int\frac{dx}{x}$$
计算积分得：
$$\ln|u|-\ln|1+u^2|=\ln|x|+\ln|K|$$
合并对数并代回$u=\frac{y}{x}$：
$$\ln\left|\frac{u}{1+u^2}\right|=\ln|Kx| \implies \frac{\frac{y}{x}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}=Kx$$
化简后得到正交轨线方程：
$$x^2+y2=C'y$$
其中$C'=\frac{1}{K}$是任意常数，这是一组过原点、圆心在$(0,\frac{C'}{2})$的圆，与原曲线的圆正交。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maria