判断ℝ³、ℝ⁴上是否存在满足特定条件的线性变换
咱们逐个分析这四个线性变换的存在性问题：
问题1：是否存在$T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$，使得$\ker(T)=\im(T)$？
用线性代数里的维数公式（秩-零度定理）：对于有限维线性空间$V$，有$\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\im(T))$。这里$V=\mathbb{R}^3$，维度是3。假设$\ker(T)=\im(T)$，那它们的维度肯定相等，设为$x$，代入公式得$3=2x$，解得$x=3/2$。但线性子空间的维度必须是整数，这个结果显然不成立，所以不存在这样的线性变换。问题2：是否存在$T:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$，使得$\ker(T)=\im(T)$？
同样用维数公式，$\mathbb{R}4$的维度是4，设$\dim(\ker(T))=\dim(\im(T))=x$，则$4=2x$，解得$x=2$，这是合法的整数维度。咱们可以直接构造一个例子：取$\mathbb{R}4$的一组标准基${e_1,e_2,e_3,e_4}$，定义$T(e_1)=T(e_2)=0$，$T(e_3)=e_1$，$T(e_4)=e_2$。此时$\ker(T)$是$\text{span}{e_1,e_2}$，$\im(T)$也是$\text{span}{e_1,e_2}$，完全满足$\ker(T)=\im(T)$，所以存在这样的线性变换。问题3：是否存在$T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$，满足$T\neq 0$且$T^3=-T$？
当然存在！咱们可以构造一个具体的例子：取$\mathbb{R}^3$的一组基，让$T$对应的矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \0 & 0 & -1 \0 & 1 & 0\end{pmatrix}
$$
计算一下$T3$：先算$T2=\begin{pmatrix}0&0&0\0&-1&0\0&0&-1\end{pmatrix}$，再乘$T$得到$T3=\begin{pmatrix}0&0&0\0&0&1\0&-1&0\end{pmatrix}=-T$，完全符合$T3=-T$的条件，而且$T$显然不是零变换，所以存在这样的线性变换。问题4：是否存在$T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$，满足$T\neq 0$且$T\neq I$，且对任意$v\in V$，$T(v)=v$或$T(v)=0$？
假设存在这样的$T$，咱们来推导矛盾：
因为$T\neq0$，所以存在非零向量$u$使得$T(u)=0$；又因为$T\neq I$，所以存在向量$w$使得$T(w)=w$（不然所有向量都被映射到0，$T$就是零变换了，矛盾）。
现在考虑向量$v=u+w$，根据条件，$T(v)$要么等于$v$，要么等于0：- 如果$T(v)=v$，那么$T(u+w)=u+w$，但线性变换满足$T(u+w)=T(u)+T(w)=0+w=w$，所以$w=u+w$，推出$u=0$，和$u$是非零向量矛盾；
- 如果$T(v)=0$，那么$T(u+w)=0$，即$T(u)+T(w)=0+w=w=0$，和$w$满足$T(w)=w\neq0$矛盾。
两种情况都矛盾，所以不存在这样的线性变换。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox
