三角指数积分求解求助：给定定积分换元后需进一步解答

嘿，我来帮你一步步拆解这个积分问题，先看原积分：
$$\int_{0}^{{\frac{\pi}{4}}\frac{e}{\sec x}\cdot \sin \bigg(x+\frac{\pi}{4}\bigg)}{(1-\sin x)\cdot \cos x}dx$$

你已经尝试了变量替换 $x+\frac{\pi}{4}=t$，得到了转换后的积分，但其实换个思路处理被积函数会更顺畅，我们来重新推导：

步骤1：化简被积函数 #

首先展开分子里的正弦项：
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}}$$

把它代入原积分，得到：
$$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\sec x} \cdot \frac{\sin x + \cos x}{(1-\sin x)\cos x} dx$$

接下来拆分这个积分：
$$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\sec x} \cdot \frac{\sin x}{(1-\sin x)\cos x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\sec x} \cdot \frac{1}{1-\sin x} dx \right)$$

步骤2：处理第二个积分 #

先看第二个积分里的分式，我们可以有理化分母：
$$\frac{1}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x + \sec x \tan x$$

所以第二个积分变为：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\sec x} (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx$$

这里我们用分部积分法：令 $u = e^{\sec x}$，$dv = (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx$，则：

• $du = e^{\sec x} \cdot \sec x \tan x dx$
• $v = \tan x + \sec x$

代入分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，得到：
$$\left. e^{\sec x} (\tan x + \sec x) \right|{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x + \sec x) \cdot e^{\sec x} \cdot \sec x \tan x dx$$

计算上下限的差值：

• 当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时：$e^{\sqrt{2}} (1 + \sqrt{2})$
• 当 $x=0$ 时：$e^1 (0 + 1) = e$

所以这部分可以写成：
$$e^{\sqrt{2}}(1+\sqrt{2}) - e - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x + \sec x) \cdot e^{\sec x} \cdot \sec x \tan x dx$$

步骤3：处理第一个积分 #

对第一个积分做变量替换 $t = \sec x$，则：

• $\sin x = \frac{\sqrt{t^2 - 1}}{t}$，$\cos x = \frac{1}{t}$
• $dx = \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}}$
• 积分上下限：$x=0$ 时 $t=1$，$x=\frac{\pi}{4}$ 时 $t=\sqrt{2}$

代入第一个积分并化简（有理化分母后），会发现它正好等于：
$$\int_{1}^{\sqrt{2}} e^t (t + \sqrt{t^2 - 1}) dt$$

进一步拆分并分部积分这个积分，你会发现它和第二步里剩余的积分项完全抵消，最终只剩下上下限的差值部分。

最终结果 #

把抵消后的结果代入原积分 $I$，得到：
$$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ e^{\sqrt{2}}(1+\sqrt{2}) - e \right]$$

也可以整理成更简洁的形式：
$$I = e^{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - \frac{e\sqrt{2}}{2}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT