已知存在分形维度为log2/log3、log5/log3的分形，能否构造1<d<2的分形？

嘿，这个问题问得非常到位！直接给结论：是的，对于任意满足1 < d < 2的实数d，我们都可以构造出分形维度恰好为d的分形。下面我来拆解具体的思路和常见构造方法：

1. 从经典自相似分形的参数调整入手 #

我们知道经典自相似分形（比如康托集、科赫曲线）的豪斯多夫维度遵循公式：对于由(N)个相似比为(r)的副本组成的分形，维度(D)满足 (N = r^{-D})，也就是 (D = \frac{\log N}{\log(1/r)})。

• 比如科赫曲线是4个相似比(1/3)的副本，维度为(\frac{\log4}{\log3} \approx 1.26)；康托集是2个相似比(1/3)的副本，维度(\frac{\log2}{\log3} \approx 0.63)。要覆盖1到2之间的任意(d)，我们不需要局限于整数的(N)或固定的(r)：
  • 可以构造带比例保留的迭代结构：比如类似科赫曲线的分形，但每次迭代时只对一部分线段进行凸起变换，另一部分保持直线。通过调整“凸起线段”的比例，就能让整体维度从1（完全不凸起，就是普通线段）连续变化到(\frac{\log4}{\log3})（全凸起），再结合不同的相似比，就能覆盖更大的范围。
  • 也可以用多相似比的迭代函数系统（IFS）：设计多个相似变换，每个变换的相似比不同，通过调整每个变换在迭代中的权重（或出现的概率），让整体的豪斯多夫维度精准匹配目标(d)。

2. 二维空间的“插值”构造 #

如果把范围放在二维平面里，构造会更直观：

• 我们可以从一维线段（维度1）向二维正方形（维度2）做“连续粗糙化”：比如把正方形分成(k \times k)个小正方形，每次迭代保留其中(m)个（(m)可以是按比例保留，不一定是整数）。此时分形维度为(\frac{\log m}{\log k})，只要调整(m)和(k)的比值，就能让这个值取遍1到2之间的所有实数。
• 举个具体例子：如果想要维度(d=1.5)，我们可以取(k=2)，那么(m=2^{1.5} \approx 2.828)。这时候我们不需要严格保留3个小正方形，而是可以设计迭代规则，让每次迭代中，部分小正方形被完整保留，部分被按比例缩小后保留，最终整体的维度刚好是1.5。

3. 测度论视角的普遍性 #

从豪斯多夫测度的理论来看，维度在[0,2]区间上是“满射”的：对于任意(d \in (1,2))，必然存在(\mathbb{R}^2)的一个子集，其豪斯多夫维度恰好为(d)。这意味着我们不仅能构造出这样的分形，而且方法并不唯一——无论是自相似结构、随机分形还是其他迭代方式，都能实现目标维度。

总结来说，只要灵活调整分形的迭代规则、相似比或保留比例，就能精准构造出1到2之间任意实数维度的分形，完全覆盖这个区间的所有值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mohammad Riazi-Kermani