是否存在Lebesgue可积函数f，其无界点集具有正Lebesgue测度？

答案是肯定的——确实存在满足条件的函数。我来给你拆解构造思路，同时帮你梳理你之前用非负函数积分定义尝试时卡住的环节。

核心构造思路 #

关键在于利用正测度的无处稠密集：这类集合本身没有内点（不包含任何区间），但测度大于0，而且它的每个点的任意邻域里，都有足够的“空间”来放置函数无界的部分，同时我们可以严格控制这些无界区域的总测度，保证积分收敛。

具体构造步骤

1. 先造一个正测度的无处稠密集
   在区间$[0,1]$上，我们可以构造一个类似Cantor集的集合$E$，让它的测度为$1/2$（比如每次去掉中间$1/4$的开区间，剩余集合的测度计算下来是$1 - \sum_{n=1}^\infty 2^{n-1} \cdot (1/4)^n = 1 - 1/2 = 1/2$）。这个$E$就是无处稠密的（没有内点），但测度是正的，正好符合我们需要的“任何邻域都无界的点集”。

2. 定义满足条件的可积函数
   对于每个正整数$k$，我们取一个开集$A_k$，满足：

   • $A_k$和$E$相交（也就是说$A_k$就在$E$的某个点附近），而且$A_k$的直径小于$1/k$；
   • 所有$A_k$两两不交，避免重叠导致函数值冲突；
   • 让$A_k$的测度$\mu(A_k) = \frac{1}{k^3}$——这个取值是为了后续积分能收敛。

   然后定义函数$f$：
   $$
   f(x) = \begin{cases}
   k, & x \in A_k \
   0, & \text{其他点}
   \end{cases}
   $$

验证两个关键条件 #

1. 在$E$的每个点的邻域上无界
   随便取$E$里的一个点$x$，不管你给多小的邻域（比如半径$\epsilon$），只要取$k > 1/\epsilon$，因为$A_k$的直径小于$1/k < \epsilon$，而且$A_k$和$E$相交，所以$A_k$肯定落在$x$的$\epsilon$-邻域里。这时候$f$在$A_k$上的取值是$k$，只要$k$足够大，$f$在这个邻域里就能任意大——也就是说，$f$在$x$的任何邻域上都是无界的。而$E$的测度是$1/2 > 0$，完全符合题设要求。

2. Lebesgue可积性
   直接计算积分：
   $$
   \int_{[0,1]} f d\mu = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \mu(A_k) = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{1}{k^3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}
   $$
   这个级数是收敛的（等于$\pi^2/6$），所以$f$是Lebesgue可积的。

   用你提到的非负函数积分等价定义（$\int f d\mu = \int_0^\infty \mu({f > t}) dt$）验证也没问题：
   对于任意$t > 0$，设$n = \lfloor t \rfloor$，那么${f > t}$就是所有$k > n$的$A_k$的并集，它的测度是$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^{3}$，这个和小于$\int_n}\infty \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2n^2} \leq \frac{2}{t^{2}$。积分$\int_0}\infty \mu({f > t}) dt$就小于$\int_0^1 1 dt + \int_1^\infty \frac{2}{t^2} dt = 1 + 2 = 3$，显然收敛。

关于你之前的尝试 #

你用非负函数积分转化为反常Riemann积分的方向完全正确，卡住的地方应该是没想到怎么同时满足“正测度点集上处处局部无界”和“积分收敛”。刚才的构造就是顺着这个思路来的：我们让$f$在$E$的每个邻域里都能取到任意大的值，同时让大值对应的区域测度以足够快的速率衰减（比如$1/k^3$），这样积分就能收敛了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kim Kanghun