$\mathbb{R}[x]$中子空间对偶基求解与泛函线性组合解法正确性求证

原问题 #

在实多项式空间$\mathbb{R}[x]$中，给定线性子空间$V=\text{span}(1+x,x^2)$。
a) 求与$V$的基${1+x, x^{2}$对偶的对偶空间$V}$的基${f_1^, f_2^}$；
b) 已知线性泛函$g \in V^{*$满足$g(p)=p(0)+3p(1)$，将$g$表示为$f_1}, f_2^*$的线性组合。

你的解法 #

• a) $f_1^, f_2^$在基${1+x, x^2}$下的矩阵分别为$[1,0]$、$[0,1]$；
• b) $g = g(1+x)f_1^* + g(x^2)f_2* = 7f_1^* + 3f_2^*$

解法正确性分析与补充建议 #

整体结论是完全正确的，但表述上可以更严谨，补充必要的推导细节，让逻辑更清晰：

关于a部分

你提到的矩阵其实对应对偶基的核心定义，但最好把定义和具体形式写出来：
设$V$的基为$v_1=1+x$，$v_2=x^{2$，对偶空间$V}$的对偶基${f_1^*,f_2}$需要满足克罗内克条件：
$$f_i^*(v_j) = \begin{cases}1, & i=j \ 0, & i\neq j\end{cases}$$
对任意$p(x)=a(1+x)+bx^2 \in V$（$a,b\in\mathbb{R}$），可以推导出：

• $f_1^(p) = a$（因为$f_1^{*(v_1)=1$，$f_1}(v_2)=0$，提取$v_1$的系数）
• $f_2^*(p) = b$（同理提取$v_2$的系数）
  你说的“矩阵为$[1,0]$、$[0,1]$”其实就是这个定义下的取值表现，但补充上面的定义和推导，会让解法更完整。

关于b部分

你的计算结果正确，但可以补充具体的计算步骤，让过程更透明：

1. 计算$g$在基向量上的取值：
   • $g(v_1)=g(1+x)=(1+0) + 3\times(1+1) = 1 + 6 = 7$
   • $g(v_2)=g(x²⁾⁼⁰2 + 3\times1^2 = 0 + 3 = 3$
2. 根据对偶基的性质：任何线性泛函$g\in V^$都可以唯一表示为$g = g(v_1)f_1^ + g(v_2)f_2^{*$，代入数值就得到$g=7f_1}+3f_2^$。

这样补充后，整个解法的逻辑链条就完整了，不会显得太突兀。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者needred