请验证群论证明正确性：gcd(m,n)=1时⟨a⟩∩⟨b⟩={e}

这个证明的核心结论是对的，但逻辑链可以补得更完整，让严谨性拉满：

咱们一步步理清楚：

• 首先，$\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ 是群 $G$ 的子群，同时它也是循环群 $\langle a \rangle$ 的子群。根据循环群的子群性质：循环群的所有子群都是循环群，且子群的阶必整除原循环群的阶。所以 $|\langle a \rangle \cap \langle b \rangle|$ 整除 $|a|=m$。
• 同理，$\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ 也是循环群 $\langle b \rangle$ 的子群，所以它的阶也整除 $|b|=n$。
• 既然这个子群的阶同时整除 $m$ 和 $n$，那它必然整除 $m$ 和 $n$ 的最大公约数 $\gcd(m,n)$。题目里已经给出 $\gcd(m,n)=1$，所以 $|\langle a \rangle \cap \langle b \rangle|=1$。
• 而阶为1的群只能是只含单位元 $e$ 的群，所以 $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle={e}$。

原证明里跳过了“交集子群的阶同时整除 $m$ 和 $n$”的推导前提（也就是没明确说交集是两个循环群的子群，所以阶要同时整除两者的阶），直接用了“阶是 $m$ 和 $n$ 的公约数”，虽然结论正确，但严谨性稍有欠缺，补全这部分逻辑后就完美了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user482939