关于极限存在性定义与√x在x→0处极限的困惑

先跟大家明确一个函数极限的核心结论：函数在某点的极限存在当且仅当该点的左极限与右极限都存在且相等，用数学符号严谨表达就是：
$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a+}f(x) = L = \lim_{x \to a-}f(x)$$

接下来咱们看平方根函数 $\sqrt{\cdot}: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$，我最近在研究 $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}$ 的值，而且已经能严格证明这个极限等于0了，过程是这样的：
任取$\epsilon > 0$，我取$\delta = \epsilon^2$，那么对于所有满足$0 < |x| < \delta$的正实数$x$（毕竟这个函数的定义域是正实数集，所以其实就是$0 < x < \delta$），都有$\sqrt{x} < \sqrt{\delta} = \epsilon$，完全贴合极限的$\epsilon-\delta$定义，所以这个极限确实是0。

不过我这儿还有个困惑……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user370967