已知连续函数f:[0,1]→ℝ仅取有理值且f(0)=2，求f(1)？

你猜的完全没错，这个函数在x=1处的值确实是2，咱们用连续函数的核心性质——介值定理来完成严谨证明：

首先明确已知条件：

• f是定义在闭区间[0,1]上的连续函数
• f的值域仅包含有理数（即f(x) ∈ ℚ对所有x∈[0,1]成立）
• f(0) = 2

假设f(1) ≠ 2，不妨设f(1) = q，其中q是某个不等于2的有理数：

1. 如果q > 2：根据介值定理，对于任意介于2和q之间的实数c，都存在某个x₀∈(0,1)使得f(x₀)=c。但2和q之间必然存在无穷多无理数（比如2 + (q-2)/√2就是其中一个），这和f只能取有理数的条件矛盾。
2. 如果q < 2：同理，介于q和2之间的无理数也有无穷多个，介值定理要求f必须取到这些值，同样和值域仅为有理数的条件矛盾。

既然f(1)≠2会导致矛盾，那唯一的可能就是f(1)=2。

其实更一般地说：定义域为区间的连续函数，如果值域仅包含有理数，那它必然是常函数——这道题就是这个结论的特例，整个函数在[0,1]上都恒等于2。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者spyer