满足二阶导数极限条件的多项式求值：求f(1)的值

Hey，针对你提出的这个多项式求解问题，我来一步步拆解清楚——首先先明确题目要求：

已知多项式$f$满足：

• 当$x\rightarrow\infty$时，$f''(x)\rightarrow2$
• $f$的最小值在$x=3$处取得
• $f(0)=3$
  求$f(1)$的值，选项为：(A) 1 (B) 2 (C) -1 (D) -2

你一开始纠结的是怎么处理“$x\rightarrow\infty$时$f''(x)\rightarrow2$”这个条件，其实这里有个关键的多项式性质可以利用，先给你提示，再一步步推导：

解题提示 #

对于多项式来说，它的任意阶导数仍然是多项式。如果二阶导数当$x\rightarrow\infty$时趋向一个固定常数，那说明这个二阶导数本身就是常数——因为如果是三次及以上的多项式，二阶导数还是一个至少一次的多项式，当x趋向无穷时会趋向正无穷或负无穷；如果是一次或零次多项式，二阶导数就是0，显然不符合趋向2的条件。所以$f(x)$必然是二次多项式，直接设它的一般形式就能求解啦。

完整求解步骤 #

• 先设二次多项式的一般形式：f(x) = ax² + bx + c
• 推导$a$的值：计算二阶导数$f''(x)=2a$，根据题意$2a=2$，所以$a=1$
• 推导$c$的值：代入$x=0$，$f(0)=c=3$，此时多项式变为$f(x)=x² + bx + 3$
• 推导$b$的值：因为$f$的最小值在$x=3$处，代入$x=3$得$f(3)=3²+3b+3=12+3b$，推导得$12+3b=3$，解得$b=-3$
• 计算$f(1)$：最终多项式为$f(x)=x²-3x+3$，代入$x=1$得$f(1)=1-3+3=1$，对应选项(A)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DSR