拓扑空间能否划分为非空不交闭子集？含至少2元空间的分解问题

咱们来逐个理清这两个拓扑空间的问题：

当然可以，而且分不同情况都能找到例子：

• 最直观的是T₁空间（每个单点集都是闭集的空间），比如离散拓扑空间、带标准拓扑的实数集这类，你直接把每个单点集单独拿出来，它们都是非空闭子集，两两不交，且并起来就是整个空间。
• 哪怕不是T₁空间，也有可行的划分方式：比如把整个空间本身作为唯一的闭子集（这是最“平凡”的划分）；如果空间存在非平凡闭子集，还能做非平凡拆分——比如带余有限拓扑的整数集，你可以把某个单点闭集和剩下所有元素组成的余有限闭集，拆成两个不交闭子集的并。

这个结论并不是普遍成立的，核心要看空间是否连通：

• 首先，连通空间完全做不到这种拆分。比如带标准拓扑的实数集$\mathbb{R}$，它是连通的——假设存在两个非空不交闭子集$A,B$满足$X=A\cup B$，那$A = X\setminus B$，因为$B$是闭集，所以$A$是开集；同理$B$也是开集。这就意味着$\mathbb{R}$能拆成两个非空不交开集的并，直接和连通空间的定义矛盾。再比如带平凡拓扑的二元集合${0,1}$，它的闭子集只有空集和整个空间，根本找不到两个非空不交的闭子集能覆盖它。
• 而不连通空间（可以拆成两个非空不交开集的并的空间）则一定能做到：如果$X=U\cup V$，其中$U,V$是非空不交开集，那么$U$的补集是$V$（闭集），$V$的补集是$U$（闭集），所以$A=U$、$B=V$就是满足条件的两个非空不交闭子集，且它们的并是$X$。

简单总结：连通空间做不到这种拆分，不连通空间可以做到，所以这个结论并不是普遍成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andrey Portnoy